Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento
, que obedece à equação:
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I)
(II)
(III)
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A)
(B)
(C)
Determine a solução
do problema para:
Condições Iniciais I e B
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
(C)
Condições Iniciais I e B
Passo 1
O problema é a equação da onda numa corda de comprimento
com extremidades fixas, dada por
isto é, a velocidade de propagação é
. As condições de contorno são
e as condições iniciais que vamos usar (caso I e B) são
Para resolver, usamos separação de variáveis e expansão em série de senos, apoiando-nos na ortogonalidade das funções próprias.
Passo 2
As funções próprias para as extremidades fixas são
com frequências angulares
Assim, a solução geral por separação de variáveis é
Passo 3
Aplicando
obtemos
Logo
Passo 4
A condição
implica
Pela ortogonalidade, só o termo
aparece, isto é,
e
para
.
Passo 5
De
segue
Portanto a solução fica restrita ao modo
: