Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 ux x=ut t
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=sen(pi x2)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) ut(x, 0)=0
(B) ut(x, 0)=-sen(3 pi x2)
(C) ut(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais I e B

Passo 1

O problema é a equação da onda numa corda de comprimento L=2 com extremidades fixas, dada por
9,uxx = utt,
isto é, a velocidade de propagação é c=3. As condições de contorno são
u(0,t)=0, u(2,t)=0,
e as condições iniciais que vamos usar (caso I e B) são
u(x,0)=0, ut(x,0)=-sin!l(tfrac3pi x2r)
Para resolver, usamos separação de variáveis e expansão em série de senos, apoiando-nos na ortogonalidade das funções próprias.

Passo 2

As funções próprias para as extremidades fixas são
sin!l(tfracnpi xLr)=sin!l(tfracnpi x2r),
com frequências angulares
omegan = npi cL = 3npi2, n=1,2,3,dots
Assim, a solução geral por separação de variáveis é
u(x,t) = sumn=1^inftyl[Ancos(omegan t) + Dnsin(omegan t)r]sin!l(tfracnpi x2r)

Passo 3

Aplicando u(x,0)=0 obtemos
u(x,0)=sumn=1^infty An,sin!l(tfracnpi x2r)=0 Longrightarrow An=0 forall n
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u(x,t) = sumn=1^infty Dn,sin(omegan t),sin!l(tfracnpi x2r)

Passo 4

A condição ut(x,0)=-sin(tfrac3pi x2) implica
ut(x,0) = sumn=1^infty Dn,omegan,sin!l(tfracnpi x2r) = -sin!l(tfrac3pi x2r)
Pela ortogonalidade, só o termo n=3 aparece, isto é,
D3,omega3 = -1, omega3 = 3cdot3pi2 = 9pi2,
e Dn=0 para nneq3.

Passo 5

De D3,omega3=-1 segue
D3 = -1omega3 = -29pi
Portanto a solução fica restrita ao modo n=3:
u(x,t) = D3,sin(omega3 t),sin!l(tfrac3pi x2r) = -29pi,sin!l(tfrac9pi t2r),sin!l(tfrac3pi x2r)

Resposta

u(x,t) = -29pi,sin!l(tfrac9pi t2r),sin!l(tfrac3pi x2r)

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