8.5U A curva 8 x=y^4+2 / y^2, 1 <= y <= 2, gira em torno do eixo y. Calcule a área da superfície resultante. (resp. 1179 pi / 256 )

Passo 1

O enunciado dá a curva definida por
8x = y^4 + 2y^2, 1 <= y <= 2,
que gira em torno do eixo y. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície gerada por revolução de uma curva x = x(y) em torno do eixo y. Vamos usar a fórmula
S = 2pi integraly1^y2 x(y),raiz1 + l(x'(y)r)^2,dy

Passo 2

Primeiro escrevemos
x(y) = 18l(y^4 + 2y^-2r)
Calculamos a derivada:
x'(y) = 18l(4y^3 -4y^-3r) = tfrac12l(y^3 - y^-3r)

Passo 3

Agora avaliamos o radicando:
1 + l(x'(y)r)^2 = 1 + 14l(y^3 - y^-3r)^2 = 1 + 14l(y^6 -2 + y^-6r) = 14l(y^6 +2 + y^-6r) = 14l(y^3 + y^-3r)^2
Logo
raiz1 + l(x'(y)r)^2 = 12l(y^3 + y^-3r)

Passo 4

Substituindo em
S = 2pi integral1^2 x(y),raiz1 + l(x'(y)r)^2,dy
obtemos
S = 2pi integral1^2 18l(y^4+2y^-2r),12l(y^3+y^-3r),dy = pi integral1^2 18l(y^4+2y^-2r)l(y^3+y^-3r),dy

Passo 5

Multiplicando os fatores dentro do integrando:
(y^4+2y^-2)(y^3+y^-3) = y^7 + y + 2y + 2y^-5 = y^7 + 3y + 2y^-5
Assim
S = pi8integral1^2l(y^7+3y+2y^-5r),dy

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral y^7,dy = y^88, integral 3y,dy = 3y^22, integral 2y^-5,dy = -12y^-4
Logo
integral1^2l(y^7+3y+2y^-5r),dy =l[y^88+3y^22-y^-42r]1^2

Passo 7

Calculando nos limites:
em y=2:
2^88+3cdot2^22-2^-42 =32 +6 -132 =121532,
em y=1:
18+32-12 =98
A diferença é
121532-98 =1215-3632 =117932
Multiplicando pelo fator pi/8
S = pi8cdot117932 =1179pi256

Resposta

1179pi256

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