8.5V Calcule a área do parabolóide
. (resp.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície definida por
para a região em que
O conteúdo de matéria é cálculo de área de superfície de gráficas do tipo
. Vamos usar a fórmula
onde
é o domínio projetado no plano
.
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais de
:
Logo o integrando fica
Passo 3
O domínio
no plano
é o disco
pois em
o máximo
dá
. Em coordenadas polares
,
, com
,
, temos
Portanto
Passo 4
Para avaliar
fazemos a substituição
,
, logo
. Os limites vão de
até
. Assim
Multiplicando por
dá
Passo 5
Podemos reescrever em outra forma equivalente:
Numericamente,