8.5V Calcule a área do parabolóide y=x^2+z^2, 0 <= y <= 4. (resp. 4 pi3[(174)^3 / 2-18] simeq 36.18)

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície definida por
y = x^2 + z^2
para a região em que
0 <= y <= 4
O conteúdo de matéria é cálculo de área de superfície de gráficas do tipo y=f(x,z). Vamos usar a fórmula
A = integral duplaD raiz1 + l(fx(x,z)r)^2 + l(fz(x,z)r)^2;dA,
onde D é o domínio projetado no plano xz.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de f(x,z)=x^2+z^2:
fx(x,z)=2x, fz(x,z)=2z
Logo o integrando fica
raiz1 + (2x)^2 + (2z)^2 = raiz1 + 4x^2 + 4z^2

Passo 3

O domínio D no plano xz é o disco
x^2+z^2 <= 4
pois em y=x^2+z^2 o máximo y=4 x^2+z^2=4. Em coordenadas polares x=rcostheta, z=rsintheta, com 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, temos
raiz1+4x^2+4z^2 =raiz1+4r^2, dA = r,dr,dtheta
Portanto
A = integral0^2pi!!integral0^2 raiz1+4r^2;r,dr,dtheta = 2pi integral0^2 rraiz1+4r^2;dr

Passo 4

Para avaliar
integral0^2 rraiz1+4r^2;dr,
fazemos a substituição u=1+4r^2, du=8r,dr, logo r,dr=du/8. Os limites vão de u(0)=1 até u(2)=1+16=17. Assim
integral0^2 rraiz1+4r^2;dr = integral1^17 raizu,du8 = 18integral1^17 u^1/2,du = 18cdot 23l[u^3/2r]1^17 = 112l(17^3/2-1r)
Multiplicando por 2pi
A = 2pi cdot 112l(17^3/2-1r) = pi6l(17^3/2-1r)

Passo 5

Podemos reescrever em outra forma equivalente:
A = 4pi3l[l(tfrac174r)^3/2 - tfrac18r]
Numericamente,
A approx 36,18

Resposta

A = pi6l(17^3/2-1r)approx 36,18

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