Determine a derivada.
f(x)=e^{\lg x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=e^{\lg x}. Para isso vamos usar a regra da cadeia, lembrando que a derivada de e^u é e^u\,u' e que \lg x=\log_{10}x.

Passo 2

Reescrevemos \lg x em função do logaritmo natural:
\lg x = \frac{\ln x}{\ln 10}.
Logo,
f(x) = e^{\frac{\ln x}{\ln 10}}.

Passo 3

Definimos u(x)=\frac{\ln x}{\ln 10}. Pela regra da cadeia,
f'(x) = e^{u(x)}\;\cdot\;u'(x).
Agora,
u'(x) = \frac{1}{\ln 10}\;\cdot\;\frac{1}{x} = \frac{1}{x\,\ln 10}.
Portanto,
f'(x) = e^{\frac{\ln x}{\ln 10}}\;\cdot\;\frac{1}{x\,\ln 10}.

Passo 4

Voltando à notação \lg x, temos e^{\frac{\ln x}{\ln 10}}=e^{\lg x}. Assim,
f'(x) = \frac{e^{\lg x}}{x\,\ln 10}.

Resposta

f'(x) = \frac{e^{\lg x}}{x\,\ln 10}.

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