Seja y=e^{x} \cos 2 t. Verifique que
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y(t)=e^{-t}\cos(2t)
é solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+5y=0.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas de produtos e composição de funções, e depois substituição na equação.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto e a cadeia. Como
y(t)=e^{-t}\cos(2t),
temos
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr)\cos(2t)+e^{-t}\,\frac{d}{dt}\bigl(\cos(2t)\bigr).
Ou seja,
\frac{dy}{dt}=-e^{-t}\cos(2t)-2e^{-t}\sin(2t) =-e^{-t}\bigl(\cos(2t)+2\sin(2t)\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada, derivando novamente y':
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} =\frac{d}{dt}\bigl[-e^{-t}(\cos(2t)+2\sin(2t))\bigr].
Aplicando produto e cadeia,
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} =e^{-t}(\cos(2t)+2\sin(2t)) -e^{-t}\bigl(-2\sin(2t)+4\cos(2t)\bigr).
Reagrupando,
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} =e^{-t}\bigl(\cos(2t)+2\sin(2t)+2\sin(2t)-4\cos(2t)\bigr) =e^{-t}\bigl(-3\cos(2t)+4\sin(2t)\bigr).

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' em
y''+2y'+5y.
Isso dá
e^{-t}(-3\cos2t+4\sin2t) +2\bigl[-e^{-t}(\cos2t+2\sin2t)\bigr] +5\,e^{-t}\cos2t.
Fatorando e^{-t} e somando termos semelhantes em \cos2t e \sin2t,
e^{-t}\bigl[(-3-2+5)\cos2t+(4-4)\sin2t\bigr] =e^{-t}(0\cdot\cos2t+0\cdot\sin2t)=0.

Resposta

A expressão \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+5y é igual a 0, logo a verificação está concluída.

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