¿6. 17 A equação diferencial matricial de um modelo em variáveis de estado de um sistema tem
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & -1 \\\\ -8 & -12 & 8 \\\\ -8 & -12 & 5 \end{array}\right]
(a) Determine a equação característica. (b) Determine se o sistema é cstável. (c) Determine as raízes da equação característica.
Resposia: (a) q(s)=s^{3}+7 s^{2}+36 s+24=0

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz de estado
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ -8 & -12 & 8\\\\ -8 & -12 & 5 \end{pmatrix}
e pede:
– (a) a equação característica q(s);
– (b) verificar se o sistema é estável;
– (c) encontrar as raízes de q(s)=0.
Conteúdo: autovalores de matriz, estabilidade de sistemas lineares e solução de equação cúbica.

Passo 2

Para obter a equação característica usamos
q(s)=\det\bigl(s\mathbf{I}-\mathbf{A}\bigr)\,.
Escrevendo s\mathbf{I}-\mathbf{A}:
s\mathbf{I}-\mathbf{A} = \begin{pmatrix} s & 0 & 0\\\\ 0 & s & 0\\\\ 0 & 0 & s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ -8 & -12 & 8\\\\ -8 & -12 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s & -1 & 1\\\\ 8 & s+12 & -8\\\\ 8 & 12 & s-5 \end{pmatrix}\!.
Agora fazemos o determinante por expansão (ou regra de Sarrus).

Passo 3

Calculando o determinante, encontra-se
q(s) = s^3 + 7\,s^2 + 36\,s + 24.

Passo 4

Para verificar estabilidade usamos o critério de Routh–Hurwitz. Montamos a primeira coluna:
linha s^3: 1,
linha s^2: 7,
linha s^1: \frac{7\cdot36 - 1\cdot24}{7} = \frac{252-24}{7} = 32{,}571,
linha s^0: 24.
Todos os elementos da primeira coluna são positivos, logo todos os autovalores têm parte real negativa e o sistema é assintoticamente estável.

Passo 5

Para achar numericamente as raízes de
s^3 + 7\,s^2 + 36\,s + 24 = 0
podemos usar métodos de solução de cúbica ou software. Obtemos uma raiz real e um par de raízes complexas conjugadas:
s_1 \approx -0{,}769,\quad s_{2,3} \approx -3{,}116 \pm j\,4{,}639.

Resposta

(a) q(s)=s^{3}+7\,s^{2}+36\,s+24.
(b) O sistema é assintoticamente estável (todas as raízes com parte real negativa).
(c) As raízes são
s_1\approx -0{,}769,\quad s_{2,3}\approx -3{,}116\pm j\,4{,}639.

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