(a) Determine a equação característica. (b) Determine se o sistema é cstável. (c) Determine as raízes da equação característica.
Resposia: (a) q(s)=s^{3}+7 s^{2}+36 s+24=0
e pede:
– (a) a equação característica q(s);
– (b) verificar se o sistema é estável;
– (c) encontrar as raízes de q(s)=0.
Conteúdo: autovalores de matriz, estabilidade de sistemas lineares e solução de equação cúbica.
Agora fazemos o determinante por expansão (ou regra de Sarrus).
Passo 3
Calculando o determinante, encontra-se
q(s) = s^3 + 7\,s^2 + 36\,s + 24.
Passo 4
Para verificar estabilidade usamos o critério de Routh–Hurwitz. Montamos a primeira coluna:
linha s^3: 1,
linha s^2: 7,
linha s^1: \frac{7\cdot36 - 1\cdot24}{7} = \frac{252-24}{7} = 32{,}571,
linha s^0: 24.
Todos os elementos da primeira coluna são positivos, logo todos os autovalores têm parte real negativa e o sistema é assintoticamente estável.
Passo 5
Para achar numericamente as raízes de
s^3 + 7\,s^2 + 36\,s + 24 = 0
podemos usar métodos de solução de cúbica ou software. Obtemos uma raiz real e um par de raízes complexas conjugadas: