Um sistema possui uma equação característica
q(s)=s^{3}+20 s^{2}+5 s+100=0 .
(a) Determine se o sistema é estável, usando o critério de RouthHurwitz. (b) Determine as raízes da equaçūo característica.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Usar o critério de Routh–Hurwitz para verificar se o sistema com equação característica
q(s)=s^{3}+20\,s^{2}+5\,s+100=0
é estável (isto é, se todos os pólos têm parte real negativa).
2. Encontrar explicitamente as raízes de q(s).
Para a parte (a) vamos montar a tabela de Routh, e para a parte (b) fatorar o polinômio.

Passo 2

Construímos a tabela de Routh para o polinômio de grau 3. Os coeficientes são:
linha s^{3}: 1 (coef. de s^3), 5 (coef. de s^1)
linha s^{2}: 20 (coef. de s^2), 100 (coef. de s^0)
Agora calculamos a linha s^{1} usando a fórmula
a_{1} = \frac{20\cdot 5 - 1\cdot 100}{20} = \frac{100-100}{20}=0
e como só há esses termos, toda a linha s^1 fica zero, indicando necessidade de polinômio auxiliar.

Passo 3

Quando uma linha inteira sai zero, formamos o polinômio auxiliar a partir da linha acima s^2, que é
P_{\rm aux}(s)=20\,s^{2}+100.
Derivando-o e substituindo na linha s^1, obtemos
\frac{d}{ds}P_{\rm aux}(s)=40\,s,
de modo que a tabela completa fica:
\begin{array}{c|cc} s^{3} & 1 & 5\\\ s^{2} & 20 & 100\\\ s^{1} & 40 & 0\\\ s^{0} & 100 & \end{array}
As entradas da primeira coluna são 1>0, 20>0, 40>0, 100>0, sem troca de sinal. Contudo, a existência da linha toda nula evidencia a presença de raízes puramente imaginárias. Logo, não há estabilidade assintótica: o sistema é marginalmente estável (pólos no eixo imaginário).

Passo 4

Para achar as raízes, notamos que s=-20 zera q(s) (teste rápido: (-20)^{3}+20(-20)^{2}+5(-20)+100=0). Então dividimos
s^{3}+20\,s^{2}+5\,s+100 = (s+20)\,(s^{2}+0\,s+5).
Daí as raízes são
s+20=0\quad\Rightarrow\quad s=-20,
s^{2}+5=0\quad\Rightarrow\quad s=\pm j\sqrt{5}.

Resposta

(a) O sistema não é assintoticamente estável: é marginalmente estável, pois há pólos em s=\pm j\sqrt{5}.
(b) As raízes da equação característica são
s=-20,\quad s=+j\sqrt{5},\quad s=-j\sqrt{5}.

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