Um sistema possui uma equação característica
(a) Determine se o sistema é estável, usando o critério de RouthHurwitz. (b) Determine as raízes da equaçūo característica.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Usar o critério de Routh–Hurwitz para verificar se o sistema com equação característica
é estável (isto é, se todos os pólos têm parte real negativa).
2. Encontrar explicitamente as raízes de .
Para a parte (a) vamos montar a tabela de Routh, e para a parte (b) fatorar o polinômio.
2. Encontrar explicitamente as raízes de
Para a parte (a) vamos montar a tabela de Routh, e para a parte (b) fatorar o polinômio.
Passo 2
Construímos a tabela de Routh para o polinômio de grau 3. Os coeficientes são:
linha :
(coef. de
),
(coef. de
)
linha :
(coef. de
),
(coef. de
)
Agora calculamos a linha usando a fórmula
linha
linha
Agora calculamos a linha
e como só há esses termos, toda a linha
fica zero, indicando necessidade de polinômio auxiliar.
Passo 3
Quando uma linha inteira sai zero, formamos o polinômio auxiliar a partir da linha acima
, que é
Derivando-o e substituindo na linha
, obtemos
de modo que a tabela completa fica:
As entradas da primeira coluna são
,
,
,
, sem troca de sinal. Contudo, a existência da linha toda nula evidencia a presença de raízes puramente imaginárias. Logo, não há estabilidade assintótica: o sistema é marginalmente estável (pólos no eixo imaginário).
Passo 4
Para achar as raízes, notamos que
zera
(teste rápido:
). Então dividimos
Daí as raízes são
Resposta
(a) O sistema não é assintoticamente estável: é marginalmente estável, pois há pólos em
.
(b) As raízes da equação característica são
(b) As raízes da equação característica são