[6]
Considere a função y=f(x)=1x^2-1; como no caso anterior o denominador da fração não pode ser nulo; logo x^2-1 neq 0; então, x neq pm 1 e:
Dom(f)=R--1,1 ; Im(f)=R-0

Passo 1

A questão pede pra gente achar domínio e imagem da função racional f(x) = 1x^2 - 1. O conteúdo é análise de funções: identificar valores proibidos no denominador (domínio) e ver quais valores de y são atingidos (imagem).

Passo 2

Pra achar o domínio, precisamos garantir que o denominador nunca seja zero. Ou seja, x^2 - 1 neq 0.
Resolvendo x^2 - 1 neq 0 a gente tem x^2 neq 1, logo x neq pm 1. Então o domínio é R setminus -1,,1.

Passo 3

Agora, pra imagem, fazemos y = 1x^2 - 1 e resolvemos em termos de y. Primeiro isolamos x^2:
x^2 - 1 = 1y Rightarrow x^2 = 1 + 1y

Passo 4

Como x^2 deve ser >= 0, exigimos
1 + 1y ;>=; 0

Passo 5

Pra resolver 1 + tfrac1y >= 0, analisamos dois casos:
• Se y > 0, então 1 + tfrac1y > 1 > 0, vale pra todo y>0.
• Se y < 0, temos 1 + tfrac1y = tfracy+1y. A fração tfracy+1y >= 0 acontece quando numerador e denominador têm o mesmo sinal. Como y<0, exigimos y+1 <= 0, ou seja y <= -1.

Passo 6

Juntando as duas faixas, vemos que y pode ser qualquer valor em (0,infty) ou em ( -infty, -1 ]. Não há como obter valores entre -1 e 0.

Resposta

Domínio: Rsetminus-1,1. Imagem: ( -infty, -1 ]cup (0,infty).

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