[6, Ex.4,12,13,p.295] Use coordenas cilíndricas para calcular \iiint_{E} f(x, y, z) d V, onde f e o sólido E são:
f(x, y, z)=z e E é delimitado por z=0, z=4-x^{2}-y^{2} e interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral triplo
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV
onde f(x,y,z)=z e o sólido E é delimitado por z=0, z=4-x^{2}-y^{2} e é interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1.
Informações importantes dadas:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=z.
  • A região E é formada por todos os pontos (x,y,z) tais que (x,y) está dentro do círculo de raio 1 (pois x^{2}+y^{2}\le 1) e z fica entre a superfície inferior z=0 e a superfície superior z=4-x^{2}-y^{2}.
  • Não há outras restrições; o sólido é o “paraboloide” cortado pelo cilindro de raio 1.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas? Porque a região em (x,y) é um disco circular ( x^{2}+y^{2}\le 1), então coordenadas polares (ou cilíndricas, ao incluir z) tornam os limites simples e o cálculo mais direto.
Definição de coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde \;r\ge 0, \;0\le\theta<2\pi, e z permanece z.
Jacobiano (elemento de volume): em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação rápida do porquê: na projeção no plano xy o elemento de área em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta (um retângulo aproximado com lados dr e r\,d\theta), e ao juntar com dz obtemos o volume elementar r\,dr\,d\theta\,dz.
Ordem de integração conveniente: integrar primeiro em z (porque as superfícies superior e inferior são dadas explicitamente em termos de x,y, que viram funções de r).

Passo 3

Converter integrando e limites para coordenadas cilíndricas.
  • Substituímos x^{2}+y^{2} por r^{2}, então a superfície superior z=4-x^{2}-y^{2} vira z=4-r^{2}.
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=1 vira r=1, então r varia de 0 a 1.
  • \theta percorre todo o círculo: \theta varia de 0 a 2\pi.
  • Para cada (r,\theta) fixos, z varia de 0 até 4-r^{2}.
Portanto o integral fica
\iiint_{E} z\,dV \;=\; \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{4-r^{2}} z\; (r\,dz\,dr\,d\theta).

Passo 4

Calcular a integral interna em z:
Primeiro integramos em z:
\int_{z=0}^{4-r^{2}} z\,dz = \left.\frac{1}{2}z^{2}\right|_{0}^{4-r^{2}} = \frac{1}{2}\bigl(4-r^{2}\bigr)^{2}.
Multiplicando pelo fator r que vem do jacobiano, a integral em z dá o integrando para r,\theta:
\frac{1}{2}\, r\,\bigl(4-r^{2}\bigr)^{2}.
Assim resta calcular
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} \frac{1}{2}\, r\,\bigl(4-r^{2}\bigr)^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r. Para facilitar, usamos a substituição \;u=r^{2}, então \;du=2r\,dr e \;r\,dr=\dfrac{1}{2}du.
Escrevemos:
\int_{r=0}^{1} \frac{1}{2}\, r\,\bigl(4-r^{2}\bigr)^{2}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int_{u=0}^{1} (4-u)^{2}\,du = \frac{1}{4}\int_{0}^{1} (4-u)^{2}\,du.
Expandindo (4-u)^{2}:
(4-u)^{2} = 16 - 8u + u^{2}.
Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1} (16 - 8u + u^{2})\,du = \bigl[16u - 4u^{2} + \tfrac{1}{3}u^{3}\bigr]_{0}^{1} = 16 - 4 + \tfrac{1}{3} = 12 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{37}{3}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{4}:
\int_{r=0}^{1} \frac{1}{2}\, r\,(4-r^{2})^{2}\,dr = \frac{1}{4}\cdot \frac{37}{3} = \frac{37}{12}.

Passo 6

Agora integrar em \theta. Temos
\int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
portanto o valor total do integral é
2\pi \cdot \frac{37}{12} = \frac{37\pi}{6}.
Interpretação rápida: o resultado é positivo como esperado (pois z\ge 0 na região) e combina a dependência em z e na área do disco de raio \,1.

Resposta

\displaystyle \frac{37\pi}{6}

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