[6, Ex.4,12,13,p.295] Use coordenas cilíndricas para calcular \iiint_{E} f(x, y, z) d V, onde f e o sólido E são: f(x, y, z)=z e E é delimitado por z=0, z=4-x^{2}-y^{2} e interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1.
Passo 1
O enunciado pede calcular o integral triplo
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV
onde f(x,y,z)=z e o sólido E é delimitado por z=0, z=4-x^{2}-y^{2} e é interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1.
Informações importantes dadas:
A função a integrar é f(x,y,z)=z.
A região E é formada por todos os pontos (x,y,z) tais que (x,y) está dentro do círculo de raio 1 (pois x^{2}+y^{2}\le 1) e z fica entre a superfície inferior z=0 e a superfície superior z=4-x^{2}-y^{2}.
Não há outras restrições; o sólido é o “paraboloide” cortado pelo cilindro de raio 1.
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas? Porque a região em (x,y) é um disco circular (x^{2}+y^{2}\le 1), então coordenadas polares (ou cilíndricas, ao incluir z) tornam os limites simples e o cálculo mais direto.
Definição de coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde \;r\ge 0, \;0\le\theta<2\pi, e z permanece z.
Jacobiano (elemento de volume): em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação rápida do porquê: na projeção no plano xy o elemento de área em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta (um retângulo aproximado com lados dr e r\,d\theta), e ao juntar com dz obtemos o volume elementar r\,dr\,d\theta\,dz.
Ordem de integração conveniente: integrar primeiro em z (porque as superfícies superior e inferior são dadas explicitamente em termos de x,y, que viram funções de r).
Passo 3
Converter integrando e limites para coordenadas cilíndricas.
Substituímos x^{2}+y^{2} por r^{2}, então a superfície superior z=4-x^{2}-y^{2} vira z=4-r^{2}.
O cilindro x^{2}+y^{2}=1 vira r=1, então r varia de 0 a 1.
\theta percorre todo o círculo: \theta varia de 0 a 2\pi.
Para cada (r,\theta) fixos, z varia de 0 até 4-r^{2}.