(3) Utilize a transformação abaixo para mostrar que
\iint_{R}(x+y) e^{x^{2}-y^{2}} d A=\frac{1}{6}\left(e^{6}-7\right)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral dupla
\iint_{R}(x+y)e^{x^{2}-y^{2}}\,dA
usando “a transformação abaixo” e mostrar que o resultado é
\frac{1}{6}\bigl(e^{6}-7\bigr). \n Informações explicitamente dadas no enunciado que tenho aqui: \[ \text{integrando: }(x+y)e^{x^{2}-y^{2}},\qquad\text{queremos: }\frac{1}{6}\bigl(e^{6}-7\bigr).
O enunciado refere-se a “uma transformação abaixo” que deveria ser usada; essa transformação (as fórmulas que trocam (x,y) por coordenadas novas) não foi enviada junto com a sua pergunta. Além disso, a integral depende da região R (seus contornos), que também não foi especificada aqui. Sem a transformação indicada ou sem os contornos que definem R, não há como determinar explicitamente a imagem da região no plano das novas coordenadas nem os limites de integração necessários para obter o valor numérico pedido.]

Passo 2

Mesmo assim, vou explicar passo a passo o método padrão que normalmente é usado para essa integral — isto serve como “aula prática” para que você aplique imediatamente quando me enviar (ou olhar) a transformação/limites corretos do enunciado. Uma transformação natural para esta integral (porque aparece x^{2}-y^{2} e x+y) é escolher as novas variáveis
u = x^{2}-y^{2},\qquad v = x+y.
Vou assumir provisoriamente essa transformação para mostrar como proceder — se a transformação “abaixo” do seu enunciado for outra, o procedimento análogo se aplica (só muda a álgebra do jacobiano e das inversões).

Passo 3

Resolver as equações da transformação para x e y em função de u e v.
Temos \;v=x+y e \;u=x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)= (x-y)v.
Logo
x-y=\frac{u}{v}.
Somando e subtraindo as duas expressões x+y=v e x-y=\dfrac{u}{v} obtemos
x=\frac{(x+y)+(x-y)}{2}=\frac{v+\dfrac{u}{v}}{2}=\frac{v^{2}+u}{2v},
y=\frac{(x+y)-(x-y)}{2}=\frac{v-\dfrac{u}{v}}{2}=\frac{v^{2}-u}{2v}.
Essas fórmulas expressam x e y em termos de u e v (válidas quando v\neq 0).

Passo 4

Agora vamos calcular o jacobiano da transformação (este passo é crucial: ele transforma dA em du\,dv).
Definição prática: se (u,v) é função de (x,y), o jacobiano direto é
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =\begin{vmatrix} u_x & u_y\\[4pt] v_x & v_y \end{vmatrix}.
Aqui u_x=2x,\;u_y=-2y,\;v_x=1,\;v_y=1. Então
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=2x\cdot1-(-2y)\cdot1=2x+2y=2(x+y)=2v.
Portanto o jacobiano inverso (o que precisamos para trocar dA por du\,dv) é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\frac{1}{2v}.
Em valor absoluto (e tomando cuidado com o sinal dependendo do sinal de v),
|J|=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{2|v|}.
No tratamento de limites devemos observar o sinal de v; se a imagem da região tiver v>0 em toda parte, podemos usar J=\dfrac{1}{2v} sem valor absoluto.]

Passo 5

Transformar o integrando e o elemento de área.
O integrando é (x+y)e^{x^{2}-y^{2}}. Em termos de (u,v) temos x+y=v e x^{2}-y^{2}=u, logo o produto fica
(x+y)e^{x^{2}-y^{2}} = v\,e^{u}.
O elemento de área transforma como dA = \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv=\dfrac{1}{2|v|}\,du\,dv. Assim, o integrando completo vira
v\,e^{u}\cdot\frac{1}{2|v|}=\frac{1}{2}\,e^{u}\cdot\frac{v}{|v|}.
Se a região imagem S no plano (u,v) tiver v>0 em toda parte (caso típico quando R está em uma banda onde x+y>0), então \dfrac{v}{|v|}=1 e obtemos a grande simplificação central:
(x+y)e^{x^{2}-y^{2}}\,dA \quad\longrightarrow\quad \frac{1}{2}e^{u}\,du\,dv.
Essa simplificação é o motivo pelo qual a transformação foi sugerida: o fator v do integrando cancela com o jacobiano, restando uma função dependente só de u.

Passo 6

Como fica a integral depois da transformação (forma geral).
Se a imagem da região R no plano (u,v) for S, então
\iint_{R}(x+y)e^{x^{2}-y^{2}}\,dA =\iint_{S}\frac{1}{2}e^{u}\,du\,dv.
Se S for um retângulo em que u varia entre u=a e u=b e v varia entre v=c e v=d (caso muito comum quando R é limitada por curvas do tipo x^{2}-y^{2}= constante e por retas x+y= constante), então a integral separa:
\iint_{S}\frac{1}{2}e^{u}\,du\,dv =\frac{1}{2}\int_{v=c}^{d}\left(\int_{u=a}^{b}e^{u}\,du\right)dv =\frac{1}{2}(d-c)\bigl(e^{b}-e^{a}\bigr).
Portanto, para finalizar numericamente precisamos conhecer os limites a,b,c,d que descrevem S, ou, mais geralmente, as curvas que determinam a imagem de R no plano (u,v).

Passo 7

Por que eu não posso concluir o valor numérico final com os dados que você me enviou.
O enunciado original pede para usar “a transformação abaixo” — essa transformação e/ou os contornos de R não vieram na sua pergunta. Sem saber exatamente quais são as curvas que limitam R (ou sem a transformação explícita indicada no enunciado), não tenho como determinar os limites de integração em u e v e, portanto, não posso calcular o valor numérico e comprovar a igualdade \dfrac{1}{6}\bigl(e^{6}-7\bigr).
Entretanto, agora você sabe o procedimento completo passo a passo:
  • usar \;u=x^{2}-y^{2},\;v=x+y\; (se for essa a transformação),
  • calcular x,y em função de u,v,
  • obter o jacobiano \dfrac{1}{2v},
  • observar que o integrando fica \dfrac{1}{2}e^{u} (se v>0 na imagem),
  • transformar R em uma região S no plano uv e escrever os limites,
  • efetuar a integral \dfrac{1}{2}\int\!\!\int_{S} e^{u}\,du\,dv.
Se você me enviar a transformação que estava “abaixo” no enunciado (ou os contornos/descrição da região R), eu aplico imediatamente esses passos com todos os cálculos detalhados e chego ao resultado numérico final — e prometo fazer isso mastigadinho, linha a linha, para você decorar e usar na prova.

Resposta

Não é possível calcular o valor numérico porque a transformação (e/ou os limites da região R) mencionada no enunciado não foi fornecida.

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