[6,0 pontos] Considere uma função f:[0,+infty) R, admíssivel, cuja transformada de Laplace é dada por F(s)=5(s^2+1)^2, use convolução para encontrar f(t). É correto afirmar que f(pi2) vale: ^1
c) 52.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a transformada de Laplace F(s)=5(s^2+1)^2 usando convolução, de modo a encontrar a função f(t) e então calcular fl(tfracpi2r). Vamos usar o fato de que a transformada inversa de 1/(s^2+1) é sin t e a propriedade de convolução.

Passo 2

Sabendo que L^-11/(s^2+1)=sin t, escrevemos
f(t)=L^-1l5l(1/(s^2+1)r)^2r =5,(sin * sin)(t) =5integral0^tsin(u),sin(t-u),du

Passo 3

Para calcular a integral, usamos a identidade trigonométrica
sin(u),sin(t-u)=tfrac12l[cos(t-2u)-cos tr]

Passo 4

Logo,
integral0^tsin(u)sin(t-u),du =tfrac12integral0^tcos(t-2u),du -tfrac12integral0^tcos t,du =tfrac12sin t - tfrac12,tcos t

Passo 5

Multiplicando pelo fator 5, obtemos
f(t)=tfrac52l(sin t - tcos tr)

Passo 6

Para encontrar fl(tfracpi2r), substituímos t=tfracpi2:
fl(tfracpi2r)=tfrac52l(sin(tfracpi2) - (tfracpi2)cos(tfracpi2)r) =tfrac52(1-0) =tfrac52

Resposta

5/2

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