Seja a superficie definida pelo vetor de posição r=(x, y, z) com z=x^2+x y+y^2. Sendo x=s+t e y=s t, calcular as derivadas partial rpartial s e partial rpartial t para o ponto definido por s=1, t=1. Calcular a equação do plano tangente à esta superficie neste mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície definida pelo vetor posição r = (x, y, z), onde z = x^2 + x y + y^2. Além disso, x e y estão relacionados com s e t pelas equações x = s + t e y = s t. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais partial rpartial s e partial rpartial t no ponto onde s = 1 e t = 1, e depois encontrar a equação do plano tangente a essa superfície nesse ponto.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar r em termos de s e t. Sabemos que:
x = s + t y = s t z = x^2 + x y + y^2
Substituindo x e y nas equações, teremos r(s, t) = (s + t, s t, (s + t)^2 + (s + t)(s t) + (s t)^2).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de r em relação a s e t.
Primeiro, partial rpartial s:
partial xpartial s = 1 partial ypartial s = t partial zpartial s = partialpartial s [ (s + t)^2 + (s + t)(s t) + (s t)^2 ]
Vamos derivar z passo a passo:
partialpartial s (s + t)^2 = 2 (s + t) cdot 1 = 2 (s + t) partialpartial s (s + t)(s t) = (1)(s t) + (s + t)(t) = s t + t (s + t) = s t + s t + t^2 = 2 s t + t^2 partialpartial s (s t)^2 = 2 (s t) cdot t = 2 s t^2
Somando tudo:
partial zpartial s = 2(s + t) + 2 s t + t^2 + 2 s t^2
Então, partial rpartial s = (1, t, 2(s + t) + 2 s t + t^2 + 2 s t^2).

Passo 4

Agora, vamos calcular partial rpartial t:
partial xpartial t = 1 partial ypartial t = s partial zpartial t = partialpartial t [ (s + t)^2 + (s + t)(s t) + (s t)^2 ]
Derivando z passo a passo:
partialpartial t (s + t)^2 = 2 (s + t) cdot 1 = 2 (s + t) partialpartial t (s + t)(s t) = (1)(s t) + (s + t)(s) = s t + s (s + t) = s t + s^2 + s t = s^2 + 2 s t partialpartial t (s t)^2 = 2 (s t) cdot s = 2 s^2 t
Somando tudo:
partial zpartial t = 2(s + t) + s^2 + 2 s t + 2 s^2 t
Então, partial rpartial t = (1, s, 2(s + t) + s^2 + 2 s t + 2 s^2 t).

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto s = 1 e t = 1.
Primeiro, partial rpartial s em s=1, t=1:
partial rpartial s = (1, 1, 2(1 + 1) + 2 cdot 1 cdot 1 + 1^2 + 2 cdot 1 cdot 1^2) = (1, 1, 4 + 2 + 1 + 2) = (1, 1, 9)
Segundo, partial rpartial t em s=1, t=1:
partial rpartial t = (1, 1, 2(1 + 1) + 1^2 + 2 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 1^2 cdot 1) = (1, 1, 4 + 1 + 2 + 2) = (1, 1, 9)

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial:
n = partial rpartial s times partial rpartial t
Calculando o produto vetorial de (1, 1, 9) e (1, 1, 9):
n = i & j & k 1 & 1 & 9 1 & 1 & 9 = i(1 cdot 9 - 9 cdot 1) - j(1 cdot 9 - 9 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 0
Ops! Parece que as derivadas são paralelas, o que indica que a parametrização não está fornecendo informação suficiente para definir um plano tangente único nesse ponto. Isso ocorre porque, na verdade, as derivadas são iguais, o que significa que as direções de mudança em s e t são as mesmas.
Para resolver isso, podemos utilizar outra abordagem: encontrar a derivada parcial tradicional usando as equações originais da superfície.

Passo 7

Vamos recalcular as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = 2x + y partial zpartial y = x + 2y
No ponto onde s = 1, t = 1, temos:
x = 1 + 1 = 2 y = 1 cdot 1 = 1
Então:
partial zpartial x = 2(2) + 1 = 5 partial zpartial y = 2 + 2(1) = 4

Passo 8

Agora, a equação do plano tangente na forma:
z = z0 + partial zpartial x(x - x0) + partial zpartial y(y - y0)
Onde (x0, y0, z0) é o ponto de tangência. Vamos calcular z0:
z0 = x0^2 + x0 y0 + y0^2 = 2^2 + 2 cdot 1 + 1^2 = 4 + 2 + 1 = 7
Substituindo os valores:
z = 7 + 5(x - 2) + 4(y - 1)
Simplificando:
z = 7 + 5x - 10 + 4y - 4 z = 5x + 4y - 7

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto onde s = 1 e t = 1 é:
z = 5x + 4y - 7

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