Seja a superficie definida pelo vetor de posição . Sendo e , calcular as derivadas e para o ponto definido por . Calcular a equação do plano tangente à esta superficie neste mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície definida pelo vetor posição , onde . Além disso, e estão relacionados com e pelas equações e . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais e no ponto onde e , e depois encontrar a equação do plano tangente a essa superfície nesse ponto.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar em termos de e . Sabemos que:
Substituindo e nas equações, teremos .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, :
Vamos derivar passo a passo:
Somando tudo:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Derivando passo a passo:
Somando tudo:
Então, .
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto e .
Primeiro, em , :
Segundo, em , :
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial de e :
Ops! Parece que as derivadas são paralelas, o que indica que a parametrização não está fornecendo informação suficiente para definir um plano tangente único nesse ponto. Isso ocorre porque, na verdade, as derivadas são iguais, o que significa que as direções de mudança em s e t são as mesmas.
Para resolver isso, podemos utilizar outra abordagem: encontrar a derivada parcial tradicional usando as equações originais da superfície.
Passo 7
Vamos recalcular as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = 2x + y partial zpartial y = x + 2y
No ponto onde s = 1, t = 1, temos:
x = 1 + 1 = 2 y = 1 cdot 1 = 1
Então:
partial zpartial x = 2(2) + 1 = 5 partial zpartial y = 2 + 2(1) = 4