Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação z=1000-0,01 x^2-0,02 y^2 onde x, y, e z são medidos em metros, e você esteja em pé no ponto de coordenadas (50,80,847). O eixo positivo dos x aponta para o Leste e o eixo positivo dos y aponta para o Norte. Em que direção a inclinação é maior? Qual a taxa de elevação nessa direção? Qual o ângulo que o inicio desse caminho faz em relação à horizontal?

Passo 1

O enunciado pede para determinar a direção de maior inclinação, a taxa de elevação nessa direção e o ângulo do caminho em relação à horizontal para o morro definido por z=1000-0,01x^2-0,02y^2 no ponto (50,80,847). O conteúdo principal é cálculo de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: partial zpartial x=-0,02x e partial zpartial y=-0,04y.
No ponto (50,80) temos partial zpartial x(50,80)=-1 e partial zpartial y(50,80)=-3,2, logo
nabla z(50,80)=(-1,-3,2).

Passo 3

A direção de maior inclinação é dada pelo vetor gradiente. O vetor unitário dessa direção é
u=nabla z|nabla z|=l(-1raiz11,24,-3,2raiz11,24r)approx(-0,298,-0,955)

Passo 4

A taxa de elevação máxima é o módulo do gradiente:
|nabla z|=raiz1^2+3,2^2=raiz11,24approx3,352,m/m

Passo 5

O ângulo de inclinação em relação à horizontal é
alpha=arctan(|nabla z|)=arctan(3,352)approx73,4^circ

Resposta

Direção de maior inclinação: vetor unitário l(-tfrac1raiz11,24,-tfrac3,2raiz11,24r) (aprox. -0,298,-0,955). Taxa de elevação nessa direção: raiz11,24approx3,352 m/m. Ângulo em relação à horizontal: approx73,4^circ.

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