[6,0 pontos] Considere uma função f:[0,+infty) R, admíssivel, cuja transformada de Laplace é dada por F(s)=5(s^2+1)^2, use convolução para encontrar f(t). É correto afirmar que f(pi2) vale: ^1
a) pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ definida para todos os $ t \geq 0 $ e sua transformada de Laplace é $ F(s) = \frac{5}{(s^2 + 1)^2} $. Nosso objetivo é usar a técnica de convolução para encontrar $ f(t) $ e, especificamente, calcular o valor de $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $. Para isso, precisamos entender um pouco sobre transformadas de Laplace e convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ F(s) = \frac{5}{(s^2 + 1)^2} $. Queremos encontrar $ f(t) $, então vamos precisar fazer a transformada inversa de Laplace.

Passo 3

A função $ F(s) = \frac{5}{(s^2 + 1)^2} $ parece complicada, mas podemos lembrar que existe uma tabela de transformadas de Laplace que relaciona F(s) = 5(s^2 + 1)^2 com funções de tempo. Sabemos que:
1(s^2 + a^2)^2
Comparando com o nosso $ F(s) $, vemos que podemos ajustar os termos.

Passo 4

No nosso caso, $ a = 1 $. Então, a transformada inversa de $ \frac{1}{(s^2 + 1)^2} $ é:
a = 1
Como temos $ F(s) = 5 \times \frac{1}{(s^2 + 1)^2} $, aplicando a linearidade da transformada inversa, temos:
1(s^2 + 1)^2

Passo 5

Agora que temos $ f(t) = \frac{5t \sin(t)}{2} $, vamos calcular $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $:
f(t) = 5t sin(t)2
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
f(pi2)

Resposta

A alternativa correta é a) $ \frac{\pi}{2} $.

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