Considere uma função
, admíssivel, cuja transformada de Laplace é dada por
, use convolução para encontrar
. É correto afirmar que
vale:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ definida para todos os $ t \geq 0 $ e sua transformada de Laplace é $ F(s) = \frac{5}{(s^2 + 1)^2} $. Nosso objetivo é usar a técnica de convolução para encontrar $ f(t) $ e, especificamente, calcular o valor de $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $. Para isso, precisamos entender um pouco sobre transformadas de Laplace e convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ F(s) = \frac{5}{(s^2 + 1)^2} $. Queremos encontrar $ f(t) $, então vamos precisar fazer a transformada inversa de Laplace.
Passo 3
A função $ F(s) = \frac{5}{(s^2 + 1)^2} $ parece complicada, mas podemos lembrar que existe uma tabela de transformadas de Laplace que relaciona
com funções de tempo. Sabemos que:
Comparando com o nosso $ F(s) $, vemos que podemos ajustar os termos.
Passo 4
No nosso caso, $ a = 1 $. Então, a transformada inversa de $ \frac{1}{(s^2 + 1)^2} $ é:
Como temos $ F(s) = 5 \times \frac{1}{(s^2 + 1)^2} $, aplicando a linearidade da transformada inversa, temos:
Passo 5
Agora que temos $ f(t) = \frac{5t \sin(t)}{2} $, vamos calcular $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
Resposta
A alternativa correta é a) $ \frac{\pi}{2} $.