[6,0 pontos] Considere uma função f:[0,+infty) R, admíssivel, cuja transformada de Laplace é dada por F(s)=5(s^2+1)^2, use convolução para encontrar f(t). É correto afirmar que f(pi2) vale: ^1
b) 54.

Passo 1

Temos a transformada de Laplace F(s)=5(s^2+1)^2. O conteúdo envolvido é a propriedade da convolução na inversa de Laplace: produto em s vira convolução em t.

Passo 2

Para usar convolução, reconhecemos que 1s^2+1 é a transformada de Laplace de sin t. Então podemos escrever
F(s)=5cdot1s^2+1cdot1s^2+1
Logo, f(t)=5,(sin*sin)(t)=5integral0^tsintau,sin(t-tau),dtau.

Passo 3

Para calcular a integral de convolução usamos a identidade trigonométrica
sintau,sin(t-tau)=tfrac12l(cos(2tau-t)-cos tr)
Assim,
integral0^tsintau,sin(t-tau)dtau=tfrac12integral0^tcos(2tau-t)dtau-tfrac12integral0^tcos t,dtau

Passo 4

Calculando cada parte temos
integral0^tcos(2tau-t)dtau=tfrac12l[sin(2tau-t)r]0^t=sin t,
integral0^tcos t,dtau=tcos t
Logo
integral0^tsintausin(t-tau)dtau=tfrac12(sin t - tcos t)

Passo 5

Multiplicando por 5 obtemos
$$f(t)=5\cdot\tfrac12(\sin t - t\cos t)=\frac{5}{2}\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).
$$

Passo 6

Para avaliar em t=pi2:
$$f\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\frac{5}{2}\Bigl(\sin\tfrac\pi2 - \tfrac\pi2\cos\tfrac\pi2\Bigr)=\frac{5}{2}(1-0)=\frac{5}{2}.
$$
Portanto a afirmação fl(tfracpi2r)=52l(sintfracpi2 - tfracpi2costfracpi2r)=52(1-0)=52 está incorreta.

Resposta

Não, f\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\tfrac{5}{2}.

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