Considere uma função
, admíssivel, cuja transformada de Laplace é dada por
, use convolução para encontrar
. É correto afirmar que
vale:
b)
.
b)
Passo 1
Temos a transformada de Laplace
. O conteúdo envolvido é a propriedade da convolução na inversa de Laplace: produto em
vira convolução em
.
Passo 2
Para usar convolução, reconhecemos que
é a transformada de Laplace de
. Então podemos escrever
Logo,
Passo 3
Para calcular a integral de convolução usamos a identidade trigonométrica
Assim,
Passo 4
Calculando cada parte temos
Logo
Passo 5
Multiplicando por 5 obtemos
$$f(t)=5\cdot\tfrac12(\sin t - t\cos t)=\frac{5}{2}\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).
$$
Passo 6
Para avaliar em
:
$$f\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\frac{5}{2}\Bigl(\sin\tfrac\pi2 - \tfrac\pi2\cos\tfrac\pi2\Bigr)=\frac{5}{2}(1-0)=\frac{5}{2}.
$$
Portanto a afirmação está incorreta.
Portanto a afirmação
Resposta
Não, f\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\tfrac{5}{2}.