Considere uma função
, admíssivel, cuja transformada de Laplace é dada por
, use convolução para encontrar
. É correto afirmar que
vale:
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função $ f(t) $ cuja transformada de Laplace é $ F(s) = \frac{5}{\left(s{2}+1\right){2}} $. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, especificamente o método de convolução. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas de funções básicas e como usar a convolução para encontrar a função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ F(s) = \frac{5}{\left(s{2}+1\right){2}} $. Precisamos achar $ f(t) $.
Passo 3
Vamos identificar $ F(s) $ como o produto de duas transformadas de Laplace conhecidas. Sabemos que:
Então, podemos reescrever $ F(s) $ como:
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade de convolução da Transformada de Laplace. Se $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} \cdot \mathcal{L}{g(t)} $, então:
No nosso caso, $ f(t) = 5 \cdot \sin(t) * \sin(t) $.
Passo 5
Vamos calcular a convolução:
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Para $ \tau = t $:
Para $ \tau = 0 $:
Subtraindo:
Passo 7
Portanto, temos:
Agora, vamos calcular $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, então:
Resposta
$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{5 \pi}{2} $