[6,0 pontos] Considere uma função f:[0,+infty) R, admíssivel, cuja transformada de Laplace é dada por F(s)=5(s^2+1)^2, use convolução para encontrar f(t). É correto afirmar que f(pi2) vale: ^1
d) 5 pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função $ f(t) $ cuja transformada de Laplace é $ F(s) = \frac{5}{\left(s{2}+1\right){2}} $. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, especificamente o método de convolução. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas de funções básicas e como usar a convolução para encontrar a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ F(s) = \frac{5}{\left(s{2}+1\right){2}} $. Precisamos achar $ f(t) $.

Passo 3

Vamos identificar $ F(s) $ como o produto de duas transformadas de Laplace conhecidas. Sabemos que:
F(s)
Então, podemos reescrever $ F(s) $ como:
Lsin(t) = 1s^2 + 1

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade de convolução da Transformada de Laplace. Se $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} \cdot \mathcal{L}{g(t)} $, então:
F(s) = Lf(t) cdot Lg(t)
No nosso caso, $ f(t) = 5 \cdot \sin(t) * \sin(t) $.

Passo 5

Vamos calcular a convolução:
f(t) = 5 integral0^t sin(tau) sin(t - tau) , dtau
Usando a identidade trigonométrica:
sin(A)sin(B) = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso na integral:
f(t) = 52 integral0^t [cos(2tau - t) - cos(t)] , dtau

Passo 6

Integrando termo a termo:
f(t) = 52 [ sin(2tau - t)2 - cos(t) tau ]0^t
Calculando os limites:
Para $ \tau = t $:
tau = t
Para $ \tau = 0 $:
sin(2t - t)2 = sin(t)2, -cos(t) t
Subtraindo:
tau = 0

Passo 7

Portanto, temos:
f(t) = 52 (sin(t) - t cos(t))
Agora, vamos calcular $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $:
f(pi2)
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, então:
f(pi2) = 52 ( sin(pi2) - pi2 cos(pi2) )

Resposta

$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{5 \pi}{2} $

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