Considere as curvas dadas em coordenadas polares
r=raiz3 cos theta, r=sen theta
Encontre as equações cartesianas das curvas e faça um esboço de ambas as curvas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as equações das curvas dadas em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e conversão de coordenadas. Precisaremos lembrar das fórmulas que relacionam as coordenadas polares com as coordenadas cartesianas .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas que usamos são:
x = r cos theta
y = r sin theta
r^2 = x^2 + y^2
Essas relações vão nos ajudar a substituir e por e .

Passo 3

Vamos começar com a primeira equação polar:
r = raiz3 cos theta
Multiplicando ambos os lados por r cdot r = raiz3 cdot r cos theta implies r^2 = raiz3 x para facilitar a conversão:
x^2 + y^2 = raiz3 x
Agora, usando , substituímos:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para ficar mais familiar. Subtraímos x^2 - raiz3 x + y^2 = 0 de ambos os lados:
Essa é a equação de um círculo. Podemos completar o quadrado para identificar o centro e o raio, mas como o exercício pede só as equações cartesianas, podemos parar por aqui.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação polar:
r = sin theta
Novamente, multiplicamos ambos os lados por r cdot r = r sin theta implies r^2 = y :
x^2 + y^2 = y
Substituindo por :

Passo 6

Vamos arrumar essa equação também:
x^2 + y^2 - y = 0
Essa também é a equação de um círculo. Se quisermos, podemos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio, mas, novamente, para o nosso propósito, já temos a equação cartesiana.

Passo 7

Agora que temos as equações cartesianas, podemos descrever um esboço das curvas:
  1. Para :
    • É um círculo com centro em e raio .
  2. Para :
    • É um círculo com centro em e raio .

Resposta

As equações cartesianas das curvas são:
x^2 + y^2 = raiz3, x
x^2 + y^2 = y
Além disso, ambas são círculos:
  • O primeiro círculo tem centro em e raio .
  • O segundo círculo tem centro em e raio .

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