Considere as curvas dadas em coordenadas polares
Encontre as equações cartesianas das curvas e faça um esboço de ambas as curvas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as equações das curvas dadas em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e conversão de coordenadas. Precisaremos lembrar das fórmulas que relacionam as coordenadas polares
com as coordenadas cartesianas
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas que usamos são:
Essas relações vão nos ajudar a substituir
e
por
e
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira equação polar:
Multiplicando ambos os lados por
para facilitar a conversão:
Agora, usando
, substituímos:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para ficar mais familiar. Subtraímos
de ambos os lados:
Essa é a equação de um círculo. Podemos completar o quadrado para identificar o centro e o raio, mas como o exercício pede só as equações cartesianas, podemos parar por aqui.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda equação polar:
Novamente, multiplicamos ambos os lados por
:
Substituindo
por
:
Passo 6
Vamos arrumar essa equação também:
Essa também é a equação de um círculo. Se quisermos, podemos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio, mas, novamente, para o nosso propósito, já temos a equação cartesiana.
Passo 7
Agora que temos as equações cartesianas, podemos descrever um esboço das curvas:
-
Para
: - É um círculo com centro em
e raio .
- É um círculo com centro em
-
Para
: - É um círculo com centro em
e raio .
- É um círculo com centro em
Resposta
As equações cartesianas das curvas são:
Além disso, ambas são círculos:
- O primeiro círculo tem centro em
e raio . - O segundo círculo tem centro em
e raio .