1,0 (1) [5,0 pontos] Encontre a solução particular para o PVI dado pela EDO de primeira ordem completa dada por:
\left\{\begin{array}{r}
y^{\prime}+2 x y=x \\
y(0)=\frac{3}{2}
\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{r} y^{\prime}+2 x y=x,\\[4pt] y(0)=\dfrac{3}{2} \end{array}\right.
O que se pede: encontrar a solução particular y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial y(0)=\dfrac{3}{2}.
Lista das informações dadas:
y^{\prime}+2 x y=x
e
y(0)=\dfrac{3}{2}.]
Passo 2
Vamos relembrar uma forma padrão útil para equações de primeira ordem. Uma equação linear de primeira ordem pode ser escrita como
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. Aqui, comparando com a equação dada, identificamos
P(x)=2x,\qquad Q(x)=x.
A técnica que vamos usar é o fator integrante. Pequena aula rápida sobre isso:
A ideia do fator integrante \mu(x) é multiplicar a equação por \mu(x) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto: \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Para isso precisamos que \mu satisfaça \mu'(x)=P(x)\mu(x). Resolvendo essa equação diferencial para \mu obtemos a fórmula clássica:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Depois de multiplicar por \mu, temos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x),
o que permite integrar ambos os lados e resolver para y.
Passo 3
Calculemos o fator integrante usando P(x)=2x:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2x\,dx\Big).
Integramos:
\int 2x\,dx = x^{2} + C,
como o fator integrante pode ser multiplicado por uma constante arbitrária, tomamos C=0 na definição e obtemos
\mu(x)=e^{x^{2}}.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x^{2}}. Fazendo isso obtemos
e^{x^{2}}y' + 2x e^{x^{2}} y = x e^{x^{2}}.
Pelo motivo do fator integrante (veja a aula do Passo 2), o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big). De fato,
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big)=e^{x^{2}}y' + (e^{x^{2}})'\,y = e^{x^{2}}y' + 2x e^{x^{2}} y.
Portanto a equação se rewrite como
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big) = x e^{x^{2}}.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big)\,dx = \int x e^{x^{2}}\,dx.
No lado esquerdo a integral da derivada é simplesmente e^{x^{2}} y. No lado direito calculamos a integral por substituição: seja \;u=x^{2}\;, então \;du=2x\,dx\; e \;x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du\;. Assim
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C.
Logo obtemos a igualdade
e^{x^{2}} y = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C,
onde C é constante de integração.
Passo 6
Isolamos y dividindo por e^{x^{2}} (que nunca é zero):
y = \frac{1}{2} + C e^{-x^{2}}.
Isto é a solução geral da EDO, com constante C. Aqui você pode ver a interpretação: há uma solução particular constante 1/2 e uma solução complementar C e^{-x^{2}}.
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial para determinar C. Usamos y(0)=\dfrac{3}{2}. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=\frac{1}{2} + C e^{0} = \frac{1}{2} + C.
Igualando à condição inicial:
\frac{1}{2} + C = \frac{3}{2}.
Resolvendo para C:
C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1.
Passo 8
Concluímos que a constante vale C=1. (A expressão final da solução particular será colocada em