2^{\underline{\mathrm{a}}} ) Seja U=\mathbb{R}^{3} e V=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A^{t}=A\right\} mostre que U e V são isomorfos.

Passo 1

O exercício quer mostrar que os espaços vetoriais \,U=\mathbb{R}^3
e \,V=\{A\in M_2(\mathbb{R})\mid A^t=A\}
são isomorfos, ou seja, existe uma aplicação linear bijetora entre eles. Para isso vamos usar o conceito de dimensão de espaços vetoriais e construir explicitamente um isomorfismo.

Passo 2

Calcular a dimensão de U.
O espaço \mathbb{R}^3 tem dimensão 3 com a base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, onde
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
Logo \dim(U)=3.

Passo 3

Calcular a dimensão de V.
Um elemento genérico de V é uma matriz simétrica
A=\begin{pmatrix} a & b\\\ b & c \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Podemos escrever
A=a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Essas três matrizes são linearly independentes e geram V, logo \dim(V)=3.

Passo 4

Definir o candidato a isomorfismo
f\colon \mathbb{R}^3 \to V \qquad,\qquad f\bigl((x,y,z)\bigr) =\begin{pmatrix}x&y\y&z\end{pmatrix}.
É claro que f é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar componente a componente.

Passo 5

Mostrar que f é injetora.
Se f(x,y,z)=0 (matriz nula), então \begin{pmatrix}x&y\y&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
logo x=0, y=0 e z=0. Portanto \ker f=\{0\} e f é injetora.

Passo 6

Mostrar que f é sobrejetora.
Dada qualquer matriz simétrica \begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}\in V, basta escolher (x,y,z)=(a,b,c) em \mathbb{R}^3 para que f(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}. Assim todo elemento de V tem um antimagem em U.

Passo 7

Concluir o isomorfismo.
Como f é linear, injetora e sobrejetora, ela é um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto U\cong V.

Resposta

Os espaços \mathbb{R}^3 e \{A\in M_2(\mathbb{R})\mid A^t=A\} são isomorfos via
(x,y,z)\mapsto \begin{pmatrix}x&y\y&z\end{pmatrix}.

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