) Seja
e
mostre que
e
são isomorfos.
Passo 1
O exercício quer mostrar que os espaços vetoriais
e
são isomorfos, ou seja, existe uma aplicação linear bijetora entre eles. Para isso vamos usar o conceito de dimensão de espaços vetoriais e construir explicitamente um isomorfismo.
e
são isomorfos, ou seja, existe uma aplicação linear bijetora entre eles. Para isso vamos usar o conceito de dimensão de espaços vetoriais e construir explicitamente um isomorfismo.
Passo 2
Calcular a dimensão de
.
O espaço tem dimensão 3 com a base canônica
, onde
O espaço
Logo
.
Passo 3
Calcular a dimensão de
.
Um elemento genérico de é uma matriz simétrica
Um elemento genérico de
com
. Podemos escrever
Essas três matrizes são linearly independentes e geram
, logo
.
Passo 4
Definir o candidato a isomorfismo
É claro que
é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar componente a componente.
Passo 5
Mostrar que
é injetora.
Se (matriz nula), então
,
logo ,
e
. Portanto
e
é injetora.
Se
logo
Passo 6
Mostrar que
é sobrejetora.
Dada qualquer matriz simétrica , basta escolher em
para que
. Assim todo elemento de
tem um antimagem em
.
Dada qualquer matriz simétrica , basta escolher
Passo 7
Concluir o isomorfismo.
Como é linear, injetora e sobrejetora, ela é um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto
Como
Resposta
Os espaços
e
são isomorfos via