60^{\circ} Problema de Revisão. Um espelho com 1,00 \mathrm{~m} de diâmetro focaliza os raios do Sol em uma placa absorvedora de 2,00 \mathrm{~cm} de raio que tem, presa a ela, uma lata contendo 1,00 \mathrm{~L} de água a 20,0{ }^{\circ} \mathrm{C}. (a) Se a intensidade solar é 1,00 \mathrm{kW} / \mathrm{m}^{2}, qual é a intensidade na placa absorvedora? (b) Quais são as magnitudes máximas dos campos \mathbf{E} e \mathbf{B} ? (c) Se 40,0 \% da energia é absorvida, quanto tempo leva para a água chegar a seu ponto de ebulição?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados e as perguntas):
  • Diâmetro do espelho: 1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Placa absorvedora: raio 2{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Lata com água presa à placa: volume 1{,}00\\ \mathrm{L} de água à temperatura inicial 20{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Intensidade solar incidente sobre o espelho: 1{,}00\\ \mathrm{kW/m^{2}}.
  • Fração de energia absorvida pela placa posteriormente: 40{,}0\% (aparecerá no item (c)).
Perguntas:
(a) Qual é a intensidade (potência por unidade de área) na placa absorvedora depois que o espelho concentra a luz do Sol?
(b) Quais são as magnitudes máximas dos campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} da onda eletromagnética nessa placa?
(c) Supondo que 40{,}0\% da energia incidente seja absorvida pela placa e transferida à água, quanto tempo leva para a água chegar ao ponto de ebulição ( 100^\circ\mathrm{C})?
Dados físicos úteis que vou usar (valores padrão):
  • Constante dielétrica do vácuo: \epsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Velocidade da luz: c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Calor específico da água: c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á.
  • Massa da água: 1{,}00\\ \mathrm{L}=1{,}00\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Cálculo da potência coletada pelo espelho (conservação de potência): o espelho intercepta a radiação solar sobre sua área e a concentra na placa. Primeiro calculemos a área do espelho:
A_{\text{espelho}}=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}=\pi\left(\frac{1{,}00\\ \mathrm{m}}{2}\right)^{2}=\pi(0{,}50\\ \mathrm{m})^{2}=\pi\cdot0{,}25\\ \mathrm{m^{2}}.
A intensidade solar dada é \,I_{\odot}=1{,}00\\ \mathrm{kW/m^{2}}=1000\\ \mathrm{W/m^{2}}. A potência coletada pelo espelho é
P_{\text{coletada}}=I_{\odot}\,A_{\text{espelho}}=1000\\ \mathrm{W/m^{2}}\times\pi\cdot0{,}25\\ \mathrm{m^{2}}=1000\cdot0{,}25\pi\\ \mathrm{W}=250\pi\\ \mathrm{W}.
Número mais explícito:
P_{\text{coletada}}=250\pi\\ \mathrm{W}\approx785{,}398\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Cálculo da área da placa absorvedora e da intensidade concentrada nela. Raio da placa r_{\text{placa}}=2{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}. Área:
A_{\text{placa}}=\pi r_{\text{placa}}^{2}=\pi(0{,}02\\ \mathrm{m})^{2}=\pi\cdot0{,}0004\\ \mathrm{m^{2}}.
A intensidade na placa (potência por unidade de área após concentração) é a potência total coletada dividida pela área da placa:
I_{\text{placa}}=\frac{P_{\text{coletada}}}{A_{\text{placa}}} =\frac{1000\cdot\pi\cdot0{,}25}{\pi\cdot0{,}0004}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Note que \pi cancela:
I_{\text{placa}}=1000\cdot\frac{0{,}25}{0{,}0004}=1000\cdot625=625000\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Portanto a intensidade na placa é \,I_{\text{placa}}=6{,}25\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 4

Relação entre intensidade e amplitude do campo elétrico: para uma onda eletromagnética plana senoidal em vácuo, a intensidade média (o fluxo de energia por unidade de área) está relacionada à amplitude do campo elétrico E_{0} por
I=\frac{1}{2}\,c\,\epsilon_{0}\,E_{0}^{2}.
Explicando cada símbolo:
  • I é a intensidade média (em \mathrm{W/m^{2}}).
  • c é a velocidade da luz (em \mathrm{m/s}).
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo (em \mathrm{F/m}).
  • E_{0} é a amplitude (valor máximo) do campo elétrico (em \mathrm{V/m}).
    Dessa relação isolamos E_{0}:
E_{0}=\sqrt{\frac{2I}{c\epsilon_{0}}}.
Agora substituímos I=I_{\text{placa}}=6{,}25\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}, c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
E_{0}=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}25\times10^{5}}{(3{,}00\times10^{8})(8{,}85\times10^{-12})}}.
Calculemos passo a passo:
c\epsilon_{0}=3{,}00\times10^{8}\times8{,}85\times10^{-12}=2{,}655\times10^{-3}.
\frac{2I}{c\epsilon_{0}}=\frac{2\cdot6{,}25\times10^{5}}{2{,}655\times10^{-3}}=\frac{1{,}25\times10^{6}}{2{,}655\times10^{-3}}\approx4{,}709\times10^{8}.
E_{0}=\sqrt{4{,}709\times10^{8}}\approx2{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
Conclusão: o módulo máximo do campo elétrico é aproximadamente E_{\max}=2{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Relação entre E e B numa onda eletromagnética em vácuo: os campos são relacionados por
B_{0}=\frac{E_{0}}{c},
onde B_{0} é a amplitude do campo magnético. Assim,
B_{0}=\frac{2{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}}{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}\approx7{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Portanto B_{\max}\approx7{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Energia necessária para aquecer a água de 20{,}0^\circ\mathrm{C} até 100{,}0^\circ\mathrm{C}: usar a fórmula do calor sensível
Q=m\,c_{\text{água}}\,\Delta T,á
onde m=1{,}00\\ \mathrm{kg}, c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á e \Delta T=100{,}0-20{,}0=80{,}0\\ \mathrm{K}. Então
Q=1{,}00\times4186\times80{,}0=334880\\ \mathrm{J}\approx3{,}35\times10^{5}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Potência absorvida pela placa (e transferida à água) supondo que 40{,}0\% da energia incidente é absorvida: já calculamos a potência coletada pelo espelho
P_{\text{coletada}}=250\pi\\ \mathrm{W}\approx785{,}398\\ \mathrm{W}.
A potência absorvida é
P_{\text{absorvida}}=0{,}400\cdot P_{\text{coletada}}=0{,}400\times785{,}398\\ \mathrm{W}=314{,}159\\ \mathrm{W}\.

Passo 8

Tempo necessário para fornecer energia Q com potência absorvida P_{\text{absorvida}}:
t=\frac{Q}{P_{\text{absorvida}}}=\frac{334880\\ \mathrm{J}}{314{,}159\\ \mathrm{W}}\approx1066{,}0\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
1066{,}0\\ \mathrm{s}=\frac{1066{,}0}{60}\\ \mathrm{min}\approx17{,}8\\ \mathrm{min},
ou seja aproximadamente 17\\ \mathrm{min}\\\ 46\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) I_{\text{placa}}=6{,}25\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}
(b) E_{\max}=2{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}, \;B_{\max}=7{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{T}
(c) t\approx1{,}07\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx17{,}8\\ \mathrm{min}

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