Um pêndulo gravitico simples, que re comporta como um oscilador harmónico simples, tem comprimento de 50 Cm e oscila com uma amplitude de 10 Cm .
a) Determine o módulo da velocidade máxima do pêndulo.
b) Calcule a frequência do movínento do pêndulo.
a) Determine o módulo da velocidade máxima do pêndulo.
b) Calcule a frequência do movínento do pêndulo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes valores do texto do problema):
- Comprimento do pêndulo:
. - Amplitude do movimento:
.
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar o módulo da velocidade máxima do pêndulo;
(b) calcular a frequência do movimento do pêndulo.
(a) determinar o módulo da velocidade máxima do pêndulo;
(b) calcular a frequência do movimento do pêndulo.
Passo 2
Por que podemos tratar esse pêndulo como oscilador harmônico simples (OHS)?
- A equação do movimento de um pêndulo simples, para deslocamentos angulares pequenos
, é obtida a partir do torque gravitacional e da segunda lei de Newton rotacional. Aproximando (pequeno ângulo) obtemos a equação
onde
é o deslocamento angular (em rad),
é a aceleração da gravidade e
o comprimento. Essa é a equação de um OHS cuja frequência angular natural é
- Aqui:
tem unidades ; usaremos como ; em metros.
Antes de usar essa aproximação, vamos checar se o ângulo máximo é pequeno. A amplitude linear dada
pode ser interpretada como amplitude do deslocamento ao longo do arco (comprimento do arco), então o ângulo máximo é
Um ângulo de
é pequeno o bastante para que
seja uma boa aproximação numa questão de prova. Logo podemos usar as fórmulas do OHS.
Passo 3
Calcular a frequência angular
. Substituindo
e
,
Passo 4
Determinar a velocidade máxima.
- Para um movimento harmônico simples unidimensional com deslocamento (no nosso caso, deslocamento ao longo do arco) dado por
, a velocidade é . O módulo máximo dessa velocidade ocorre quando , portanto
- Aqui
é a amplitude linear (em metros). Substituindo e ,
Passo 5
Calcular a frequência (em Hz). A relação entre frequência angular
e frequência em hertz
é
Substituindo
,
Passo 6
Pequeno resumo e incentivo: encontramos que a velocidade máxima é da ordem de alguns décimos de metro por segundo e a frequência é menor que
, ou seja, o pêndulo completa menos de uma oscilação por segundo — números bem razoáveis para um pêndulo curto. Vai dar tudo certo na prova — você já aprendeu a receita: checar pequeno ângulo, usar
e
.