Um pêndulo gravitico simples, que re comporta como um oscilador harmónico simples, tem comprimento de 50 Cm e oscila com uma amplitude de 10 Cm .
a) Determine o módulo da velocidade máxima do pêndulo.
b) Calcule a frequência do movínento do pêndulo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes valores do texto do problema):
  • Comprimento do pêndulo: L = 50\\ \text{cm} = 0,50\\ \mathrm{m}.
  • Amplitude do movimento: A = 10\\ \text{cm} = 0,10\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar o módulo da velocidade máxima do pêndulo;
(b) calcular a frequência do movimento do pêndulo.

Passo 2

Por que podemos tratar esse pêndulo como oscilador harmônico simples (OHS)?
  • A equação do movimento de um pêndulo simples, para deslocamentos angulares pequenos \theta, é obtida a partir do torque gravitacional e da segunda lei de Newton rotacional. Aproximando \sin\theta \approx \theta (pequeno ângulo) obtemos a equação
\theta'' + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
onde \theta(t) é o deslocamento angular (em rad), g é a aceleração da gravidade e L o comprimento. Essa é a equação de um OHS cuja frequência angular natural é
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
  • Aqui: \omega tem unidades \mathrm{rad/s}; g usaremos como g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}; L em metros.
Antes de usar essa aproximação, vamos checar se o ângulo máximo é pequeno. A amplitude linear dada A pode ser interpretada como amplitude do deslocamento ao longo do arco (comprimento do arco), então o ângulo máximo é
\theta_{\max}=\frac{A}{L}=\frac{0,10}{0,50}=0,20\\ \text{rad}\approx 11{,}46^\circ.
Um ângulo de \approx 11^\circ é pequeno o bastante para que \sin\theta\approx\theta seja uma boa aproximação numa questão de prova. Logo podemos usar as fórmulas do OHS.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega. Substituindo g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e L=0,50\\ \mathrm{m},
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}=\sqrt{\frac{9,8}{0,50}}=\sqrt{19,6}\approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Determinar a velocidade máxima.
  • Para um movimento harmônico simples unidimensional com deslocamento (no nosso caso, deslocamento ao longo do arco) dado por s(t)=A\cos(\omega t), a velocidade é v(t) = s'(t) = -A\omega\sin(\omega t). O módulo máximo dessa velocidade ocorre quando |\sin(\omega t)|=1, portanto
v_{\max}=A\,\omega.
  • Aqui A é a amplitude linear (em metros). Substituindo A=0,10\\ \mathrm{m} e \omega\approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s},
v_{\max}=0,10\times 4{,}427 \approx 0{,}443\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a frequência (em Hz). A relação entre frequência angular \omega e frequência em hertz f é
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega\approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s},
f=\frac{4{,}427}{2\pi}\approx 0{,}7046\\ \mathrm{Hz}\approx 0{,}705\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Pequeno resumo e incentivo: encontramos que a velocidade máxima é da ordem de alguns décimos de metro por segundo e a frequência é menor que 1\\ \mathrm{Hz}, ou seja, o pêndulo completa menos de uma oscilação por segundo — números bem razoáveis para um pêndulo curto. Vai dar tudo certo na prova — você já aprendeu a receita: checar pequeno ângulo, usar \omega=\sqrt{g/L} e v_{\max}=A\omega.

Resposta

v_{\max}=0,443\\ \mathrm{m/s}
f=0,705\\ \mathrm{Hz}

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