60 Mergulha-se a boca de uma espingarda de rolha no ponto P da superfície de um líquido de densidade 1,50 g / \mathrm{cm}^{3} contido em um tanque. Despreze o atrito viscoso e considere que no local a aceleração da gravidade tem módulo 10,0 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. O cano da espingarda forma um ângulo ( \theta ) de 45^{\circ} abaixo da horizontal.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o quê (vou explicitar em linguagem direta para não se perder):\n
  • A densidade do líquido é \rho_{\ell}=1{,}50\\ \mathrm{g/cm^{3}}.\n
  • A aceleração da gravidade tem módulo g=10{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
  • O cano da espingarda forma um ângulo \theta=45^\circ abaixo da horizontal no ponto P da superfície do líquido.\n
  • A espingarda dispara uma rolha (assumimos corpo rígido de volume V e densidade \rho_{\text{rolha}}) que entra no líquido com velocidade inicial v_0 ao sair do cano. Despreza-se atrito viscoso.\n
  • A figura mostra que a rolha entra na água em P, descreve uma trajetória no interior do líquido e volta a emergir na superfície a uma distância horizontal A de P.\n
    Pergunta (implícita no enunciado): determinar a distância horizontal A em função de v_0, \theta, g, \rho_{\ell} e \rho_{\text{rolha}}. Como o enunciado deu \theta=45^\circ e \rho_{\ell}, depois podemos aplicar esse valor. Não foi dada \rho_{\text{rolha}}, então manteremos o resultado em função dela.

Passo 2

Entendimento físico e forças envolvidas (aula rápida e intuitiva).\n
  • Ao penetrar no líquido, a rolha fica submetida a duas forças verticais principais: o peso \vec{P}=m\vec{g} (para baixo) e a força de empuxo \vec{E} (para cima), onde pelo Princípio de Arquimedes \vec{E}=\rho_{\ell} V g para cima. Aqui m=\rho_{\text{rolha}} V.\n
  • Não há atrito viscose (excluído pelo enunciado), logo não existem forças horizontais; a componente horizontal da velocidade permanece constante.\n
  • Portanto, o movimento dentro do líquido é um movimento com velocidade horizontal constante e aceleração vertical constante (resultado da diferença entre peso e empuxo). Isso é análogo a um “movimento de projétil” mas com uma aceleração vertical diferente de g.\n
  • Vamos escolher um sistema de coordenadas: eixo x horizontal (positivo para frente, na direção do tiro) e eixo y vertical apontando para baixo (positivo para baixo facilita os sinais porque a rolha é lançada para baixo). Assim a superfície inicial P tem y=0.

Passo 3

Determinar a aceleração vertical efetiva dentro do líquido (derivação passo a passo).\n
  • Peso para baixo: P=mg=\rho_{\text{rolha}} V g.\n
  • Empuxo para cima: E=\rho_{\ell} V g.\n
  • Força resultante vertical (tomando para baixo como positivo): F_y = P - E = (\rho_{\text{rolha}} V g) - (\rho_{\ell} V g) = V g (\rho_{\text{rolha}} - \rho_{\ell}).\n
  • A aceleração vertical a_y é F_y/m. Como m=\rho_{\text{rolha}} V, temos
a_y=\frac{V g (\rho_{\text{rolha}} - \rho_{\ell})}{\rho_{\text{rolha}} V}=g\left(1-\frac{\rho_{\ell}}{\rho_{\text{rolha}}}\right).
  • Observação sobre o sinal: se \rho_{\text{rolha}}<\rho_{\ell} (rolha mais leve que o líquido, caso comum), então a_y<0 com nossa convenção positiva para baixo — isto significa que a aceleração efetiva é para cima. Isso explica o retorno da rolha à superfície.

Passo 4

Componentes da velocidade inicial e expressões do movimento (explicando cada símbolo).\n
  • A velocidade inicial tem módulo v_0 e direção \theta abaixo da horizontal. Com a convenção y para baixo, as componentes iniciais são:
v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.
Aqui v_{0x} é a velocidade horizontal constante (m/s) e v_{0y} é a componente vertical inicial para baixo (m/s).\n
  • Equações do movimento no líquido (aceleração vertical constante a_y, sem aceleração horizontal):
x(t)=v_{0x}\,t,
y(t)=v_{0y}\,t+\tfrac{1}{2}a_y\,t^{2}.

Passo 5

Condição para a rolha voltar à superfície e determinação do tempo de subida de volta.\n
  • A rolha sai da superfície em t=0 com y(0)=0. Ela retornará à superfície em algum tempo t>0 tal que y(t)=0 novamente.\n
  • Assim, impondo y(t)=0 para t>0,
v_{0y}\,t+\tfrac{1}{2}a_y\,t^{2}=0.
  • Fatorando t: t\big(v_{0y}+\tfrac{1}{2}a_y t\big)=0. A solução não-trivial é
t_{\text{saida}}=-\frac{2v_{0y}}{a_y}.
  • Observação sobre o sinal: se a_y<0 (empuxo maior que peso), então o numerador v_{0y}>0 e a_y<0 dão t_{\text{saida}}>0, como esperado.

Passo 6

Cálculo da distância horizontal A percorrida até a saída (usar x(t)).\n
  • A distância horizontal entre P e o ponto de saída é
A = x\big(t_{\text{saida}}\big)=v_{0x}\,t_{\text{saida}}.
  • Substituindo v_{0x}=v_0\cos\theta e t_{\text{saida}}=-\dfrac{2v_{0y}}{a_y} com v_{0y}=v_0\sin\theta, obtemos
A = v_0\cos\theta\left(-\frac{2v_0\sin\theta}{a_y}\right)= -\frac{2v_0^{2}\sin\theta\cos\theta}{a_y}.
  • Usando a identidade 2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta, fica
A = -\frac{v_0^{2}\sin 2\theta}{a_y}.
  • Agora substituímos a_y=g\left(1-\dfrac{\rho_{\ell}}{\rho_{\text{rolha}}}\right), obtendo a expressão final geral
A=\frac{v_0^{2}\sin 2\theta}{g\left(\dfrac{\rho_{\ell}}{\rho_{\text{rolha}}}-1\right)}.
Explicação do sinal: a razão no denominador foi escrita de forma a ficar positiva quando \rho_{\ell}>\rho_{\text{rolha}} (caso da rolha que retorna), garantindo A>0.

Passo 7

Aplicar o caso particular \theta=45^\circ e usar o valor dado de \rho_{\ell}.\n
  • Para \theta=45^\circ temos \sin 2\theta=\sin 90^\circ=1. Portanto a expressão simplifica para
A=\frac{v_0^{2}}{g\left(\dfrac{\rho_{\ell}}{\rho_{\text{rolha}}}-1\right)}.
  • Substituindo o valor numérico de \rho_{\ell}=1{,}50\\ \mathrm{g/cm^{3}} (se desejar manter as unidades coerentes, trabalha-se sempre em \mathrm{kg/m^3} ao calcular números; contudo aqui a densidade aparece em razão, então assumir as mesmas unidades para numerador e denominador é suficiente). Mantemos \rho_{\text{rolha}} simbólica porque o problema não deu seu valor.

Passo 8

Interpretação final, dicas para a prova e exemplo numérico (opcional para fixar a ideia).\n
  • Interpretação física: quanto maior v_0 maior A (escala quadrática), e quanto mais leve for a rolha em relação ao líquido (maior \rho_{\ell}/\rho_{\text{rolha}}) menor é o denominador? Atenção: \dfrac{\rho_{\ell}}{\rho_{\text{rolha}}}-1 cresce quando \rho_{\text{rolha}} diminui, então A fica menor — isto faz sentido: se a rolha for muito mais leve que o líquido, a aceleração de retorno é forte e ela não se afasta muito horizontalmente antes de emergir.\n
  • Exemplo numérico rápido (apenas para ver número): se \rho_{\text{rolha}}=0{,}25\\ \mathrm{g/cm^{3}} (valor típico de cortiça), então \dfrac{\rho_{\ell}}{\rho_{\text{rolha}}}=6 e
A=\frac{v_0^{2}}{10\cdot(6-1)}=\frac{v_0^{2}}{50}\quad(\mathrm{m}),
ou seja A=v_0^{2}/50. Isso mostra como usar a fórmula para obter um valor prático.

Resposta

A=\frac{v_0^{2}\sin 2\theta}{g\left(\dfrac{\rho_{\ell}}{\rho_{\text{rolha}}}-1\right)}
\text{Para }\theta=45^\circ:\quad A=\frac{v_0^{2}}{g\left(\dfrac{\rho_{\ell}}{\rho_{\text{rolha}}}-1\right)}

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