60 Mergulha-se a boca de uma espingarda de rolha no ponto
da superfície de um líquido de densidade
contido em um tanque. Despreze o atrito viscoso e considere que no local a aceleração da gravidade tem módulo 10,0
. O cano da espingarda forma um ângulo (
) de
abaixo da horizontal.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o quê (vou explicitar em linguagem direta para não se perder):\n
- A densidade do líquido é
.\n - A aceleração da gravidade tem módulo
.\n - O cano da espingarda forma um ângulo
abaixo da horizontal no ponto da superfície do líquido.\n - A espingarda dispara uma rolha (assumimos corpo rígido de volume
e densidade ) que entra no líquido com velocidade inicial ao sair do cano. Despreza-se atrito viscoso.\n - A figura mostra que a rolha entra na água em
, descreve uma trajetória no interior do líquido e volta a emergir na superfície a uma distância horizontal de .\n
Pergunta (implícita no enunciado): determinar a distância horizontalem função de , , , e . Como o enunciado deu e , depois podemos aplicar esse valor. Não foi dada , então manteremos o resultado em função dela.
Passo 2
Entendimento físico e forças envolvidas (aula rápida e intuitiva).\n
- Ao penetrar no líquido, a rolha fica submetida a duas forças verticais principais: o peso
(para baixo) e a força de empuxo (para cima), onde pelo Princípio de Arquimedes para cima. Aqui .\n - Não há atrito viscose (excluído pelo enunciado), logo não existem forças horizontais; a componente horizontal da velocidade permanece constante.\n
- Portanto, o movimento dentro do líquido é um movimento com velocidade horizontal constante e aceleração vertical constante (resultado da diferença entre peso e empuxo). Isso é análogo a um “movimento de projétil” mas com uma aceleração vertical diferente de
.\n - Vamos escolher um sistema de coordenadas: eixo
horizontal (positivo para frente, na direção do tiro) e eixo vertical apontando para baixo (positivo para baixo facilita os sinais porque a rolha é lançada para baixo). Assim a superfície inicial tem .
Passo 3
Determinar a aceleração vertical efetiva dentro do líquido (derivação passo a passo).\n
- Peso para baixo:
.\n - Empuxo para cima:
.\n - Força resultante vertical (tomando para baixo como positivo):
\n - A aceleração vertical
é . Como , temos
- Observação sobre o sinal: se
(rolha mais leve que o líquido, caso comum), então com nossa convenção positiva para baixo — isto significa que a aceleração efetiva é para cima. Isso explica o retorno da rolha à superfície.
Passo 4
Componentes da velocidade inicial e expressões do movimento (explicando cada símbolo).\n
- A velocidade inicial tem módulo
e direção abaixo da horizontal. Com a convenção para baixo, as componentes iniciais são:
Aqui
é a velocidade horizontal constante (m/s) e
é a componente vertical inicial para baixo (m/s).\n
- Equações do movimento no líquido (aceleração vertical constante
, sem aceleração horizontal):
Passo 5
Condição para a rolha voltar à superfície e determinação do tempo de subida de volta.\n
- A rolha sai da superfície em
com . Ela retornará à superfície em algum tempo tal que novamente.\n - Assim, impondo
para ,
- Fatorando
: . A solução não-trivial é
- Observação sobre o sinal: se
(empuxo maior que peso), então o numerador e dão , como esperado.
Passo 6
Cálculo da distância horizontal
percorrida até a saída (usar
).\n
- A distância horizontal entre
e o ponto de saída é
- Substituindo
e com , obtemos
- Usando a identidade
, fica
- Agora substituímos
, obtendo a expressão final geral
Explicação do sinal: a razão no denominador foi escrita de forma a ficar positiva quando
(caso da rolha que retorna), garantindo
.
Passo 7
Aplicar o caso particular
e usar o valor dado de
.\n
- Para
temos . Portanto a expressão simplifica para
- Substituindo o valor numérico de
(se desejar manter as unidades coerentes, trabalha-se sempre em ao calcular números; contudo aqui a densidade aparece em razão, então assumir as mesmas unidades para numerador e denominador é suficiente). Mantemos simbólica porque o problema não deu seu valor.
Passo 8
Interpretação final, dicas para a prova e exemplo numérico (opcional para fixar a ideia).\n
- Interpretação física: quanto maior
maior (escala quadrática), e quanto mais leve for a rolha em relação ao líquido (maior ) menor é o denominador? Atenção: cresce quando diminui, então fica menor — isto faz sentido: se a rolha for muito mais leve que o líquido, a aceleração de retorno é forte e ela não se afasta muito horizontalmente antes de emergir.\n - Exemplo numérico rápido (apenas para ver número): se
(valor típico de cortiça), então e
ou seja
. Isso mostra como usar a fórmula para obter um valor prático.