60 % de probabilidade de que haja desvalorização cambial. Se a desvalorização ocorrer, há 70 % de chance de o governo lançar um pacote emergencial de medidas. Se não ocorrer, as chances de esse pacote ser lançado caem para 40 %. Se o pacote foi lançado, qual a probabilidade de que tenha ocorrido desvalorização cambial?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo. A gente tem dois eventos:
  • Desvalorização cambial (vou chamar de ) com probabilidade .
  • Lançamento de pacote emergencial (vou chamar de ).
Também sabemos que
  • Se rolou desvalorização, .
  • Se não rolou desvalorização, .
O que a gente quer achar é a probabilidade de ter ocorrido desvalorização dado que o pacote foi lançado, ou seja .
Conteúdo que vamos usar: probabilidade condicional, Lei da Probabilidade Total e Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, define os valores numéricos:
P(Pmid D)=0,7 e P(Pmid D^c)=0,4 e logo .
Além disso:

Passo 3

Antes de aplicar Bayes, precisamos da probabilidade total de ter pacote lançado, P(P)=P(Pmid D),P(D)+P(Pmid D^c),P(D^c) .
Pela Lei da Probabilidade Total:
P(P)=0,7cdot0,6 + 0,4cdot0,4 = 0,42 + 0,16 = 0,58
Substituindo:

Passo 4

Agora sim usamos o Teorema de Bayes, que diz:
P(Dmid P) =P(Pmid D),P(D)P(P)
Substituindo os valores:
P(Dmid P) =0,7times0,60,58 =0,420,58 approx0,7241

Resposta

A probabilidade de ter ocorrido desvalorização cambial dado que o pacote foi lançado é aproximadamente .

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