A empresa de construção "Tijolo S.A. " vai apresentar uma proposta de construção de um armazém do tipo A . Considere a variável aleatória X , que representa o número de dias para construir um armazém do tipo A , e a respectiva função de probabilidade:
X 20 21 22 23 24
|c|c|c|c|c|c| hline X & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 hline $P(x)$ & $k / 2$ & 0,15 & 3 k & 0,1 & 0,05 hline 0,15 3 k 0,1 0,05
a) Determine o valor da constante k .
b) Qual a probabilidade do tempo de construção demorar mais de 22 dias?
c) Qual a probabilidade do tempo de construção demorar entre 21 e 23 dias (inclusive)?
d) Quantos dias espera a empresa demorar para construir o referido armazém?
e) Calcule o valor de Var (X).
f) Os custos de construção são os seguintes:
  • Materiais: 16.000 euros
  • Mão de obra: 750 euros por cada dia de construção
Os responsáveis pela empresa pretendem obter um valor esperado do lucro de 2.500 euros. Atendendo aos custos que constam na tabela anterior, calcule o valor que deve ser apresentado na proposta de construção.

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado pede: a variável aleatória discreta X é o número de dias pra construir um armazém do tipo A, com possíveis valores 20, 21, 22, 23 e 24, e probabilidades dadas por
c|ccccc X & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 hline P(X=x) & tfrack2 & 0,15 & 3k & 0,1 & 0,05
A matéria aqui é Distribuição de Probabilidade Discreta: normalizar a soma das probabilidades, calcular probabilidades de eventos, valor esperado, variância e lucro esperado.
Pra resolver isso você vai precisar saber:
  • Que a soma das tem de dar 1;
  • Como somar probabilidades de eventos (soma simples);
  • Fórmulas de esperança e variância ;
  • Como achar lucro esperado ç.

Passo 2

(a) Achar k2 + 0,15 + 3k + 0,1 + 0,05 = 1 usando k2 + 3k = 3,5k, 0,15+0,1+0,05 = 0,30, .
Teoria: num experimento discreto, a soma de todas as probabilidades deve valer 1.
3,5k + 0,30 = 1 Longrightarrow 3,5k = 0,70 Longrightarrow k = 0,20
Juntando termos:
então

Passo 3

(b) P(X>22) = P(23) + P(24) = 0,1 + 0,05 = 0,15 .
Teoria: evento “ ” significa ou . A probabilidade é a soma dos .

Passo 4

© P(21<= X<= 23) = P(21) + P(22) + P(23) = 0,15 + 3k + 0,1 .
Teoria: intervalo “entre 21 e 23 inclusive” engloba P(21<= X<= 23)=0,15 +0,60 +0,1 = 0,85 .
Como , temos , logo

Passo 5

(d) Esperança E(X)=20cdot 0,1 + 21cdot0,15 +22cdot0,6 +23cdot0,1 +24cdot0,05 .
Teoria: =2 +3,15 +13,2 +2,3 +1,2 =21,85 dias .
Calculando:

Passo 6

(e) Variância E(X^2)=400cdot0.1 +441cdot0.15 +484cdot0.6 +529cdot0.1 +576cdot0.05 =478,25 .
Teoria: Var(X)=478,25 - (21,85)^2 =478,25 - 477,4225 approx 0,8275 , onde .
Então

Passo 7

(f) Valor da proposta pra ter lucro esperado de 2 500 €.
Teoria: custo total E(C)=16,000 +750,E(X) =16,000 +750cdot21,85 =32,387,50 . Esperança do custo:
E(lucro)=P - E(C)
Se o preço oferecido for P = 2,500 +32,387,50 =34,887,50 , o lucro esperado é
Queremos , então

Resposta

a)
b)
c)
d) dias
e)
f) Preço da proposta: euros.

Exercícios relacionados