*1-60. The bar has a cross-sectional area of 400\left(10^{-6}\right) \mathrm{m}^{2}. If it is subjected to a uniform axial distributed loading along its length and to two concentrated loads, determine the average normal stress in the bar as a function of x for 0<x \leq 0.5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão normal média na barra como função de x para 0<x\leq 0{,}5\\ \mathrm{m}.
Informação explícita dada: a área da seção transversal é A=400\left(10^{-6}\right)\\ \mathrm{m}^2 (vou escrever isto em notação direta: A=400\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}^2).
Informações que não foram fornecidas no enunciado que você me enviou (e que normalmente são necessárias para um resultado numérico completo): magnitudes e posições (valores numéricos) das cargas concentradas, intensidade numérica da carga distribuída axial (se constante, qual valor) e a posição/condição das extremidades (que reações existem). Não há figura nem dados numéricos das cargas na mensagem.
Observação importante: sem esses dados numéricos ou sem a figura que especifica onde estão as cargas concentradas e qual é a intensidade da carga distribuída, não é possível dar uma expressão numérica final para \sigma(x). A seguir eu explico passo a passo o que se faz na prova e entrego a fórmula geral simbólica que você pode aplicar quando tiver os números.

Passo 2

Definimos coordenada e convenção de sinais (muito importante para não se perder na prova). Seja x medido a partir da extremidade esquerda da barra em direção à direita; o enunciado pede a função para 0<x\leq 0{,}5.
Escolhemos a convenção de sinais: tensão normal média positiva quando a barra está em tração (força axial interna positiva para “puxar”), e cargas aplicadas no sentido que tendem a tracionar a parte esquerda serão tomadas com sinal positivo ao somar forças (vou explicitar sempre o sinal ao usá-las). Você pode adotar outra convenção, mas mantenha-a consistente.

Passo 3

Modelo genérico das cargas (vou introduzir letra-variáveis para representar o que falta no enunciado, assim você aprende a formular e aplicar quando tiver os números):
  • intensidade da carga axial distribuída (força por comprimento) supondo uniforme: \displaystyle q com unidades \mathrm{N/m}. Se for compressiva em sentido que reduz o comprimento, toma-se o sinal negativo adequado; aqui q será o valor algébrico (já com sinal).
  • duas cargas concentradas: \displaystyle P_1 aplicada em x=x_1 e \displaystyle P_2 aplicada em x=x_2. Novamente, P_i é algébrico (positivo se puxa na direção definida como positiva).
  • área: \displaystyle A=400\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Essas são as incógnitas/variáveis que substituem os dados numéricos ausentes.

Passo 4

Princípio de equilíbrio para obter a força axial interna N(x) (que depois dá a tensão média \sigma(x)=N(x)/A). Método padrão em prova: faz-se um corte na seção perpendicular ao eixo em posição x e escreve-se equilíbrio em (axial) daquela parte da barra. Uma forma prática e comum é considerar o corpo à esquerda do corte (segmento 0 até x). Sobre esse segmento atuam: a reação/força na extremidade esquerda (se houver), a carga distribuída ao longo de 0 a x, quaisquer cargas concentradas que estejam entre 0 e x, e a força interna na face cortada (que chamamos N(x)). A equação de equilíbrio axial (somatório de forças = 0) dá:
N(x) + \big(\text{soma algébrica das cargas no segmento }[0,x]\big) + R_\text{left} = 0,é
onde R_\text{left} é a força externa na extremidade esquerda (se existir). Para evitar introduzir uma reação desconhecida, é mais prático escrever N(x) em termos dos efeitos das cargas internas ao segmento e de uma constante de integração que será determinada pela condição global. Uma forma compacta e usada em muitos exercícios é:
N(x) = R_0 - \int_{0}^{x} q(s)\,ds - \sum_{i:\,x_i\le x} P_i,
onde R_0 é a força resultante aplicada na extremidade esquerda (pode ser reação ou força aplicada diretamente). Aqui q(s) é a intensidade distribuída possivelmente dependente de s; se q for uniforme constante, a integral simplifica.
Explicando cada termo:
  • R_0: força externa na extremidade x=0 (pode ser positiva ou negativa). Em muitos problemas R_0 é obtida pela condição de equilíbrio global (soma das forças externas = 0).
  • \int_{0}^{x} q(s)\,ds: resultado da carga distribuída ao longo do comprimento 0 a x. Se q é constante, isto é simplesmente q x.
  • \sum_{i:\,x_i\le x} P_i: soma das cargas concentradas que estão entre 0 e x (cada P_i já com sinal).

Passo 5

Passo didático: caso mais comum (e simples) — carga distribuída uniforme q e nenhuma carga concentrada entre 0 e x. Nesse caso a expressão do Passo 4 vira, para 0<x\le 0{,}5 (assumindo que x_1>0{,}5 e x_2>0{,}5, ou seja, as concentradas estão à direita do intervalo pedido):
N(x) = R_0 - q x.
Então a tensão normal média é
\sigma(x)=\dfrac{N(x)}{A}=\dfrac{R_0 - q x}{A}.
Aqui ficou bem explícito que, para obter o valor numérico, você precisa de R_0 e de q. Se q for dado e se a condição global de equilíbrio permitir determinar R_0 (por exemplo conhecendo todas as outras forças e sabendo como as reações se apoiam), você substitui e obtém \sigma(x) numérica.

Passo 6

Como determinar R_0 (o raciocínio que se usa na prova): escreva o equilíbrio de toda a barra (somatório de forças externas = 0). Se a barra tem apenas as duas cargas concentradas P_1,P_2 e a distribuída q e se as reações nas extremidades são R_0 (esquerda) e R_L (direita), então
R_0 + R_L - \int_0^L q(s)\,ds - P_1 - P_2 = 0.
Isto dá apenas uma equação para duas reações R_0,R_L — em muitos problemas de barra em tração/compressão as reações se resolvem pela simetria ou por condições adicionais (por exemplo se uma extremidade é fixa e a outra livre, ou se uma extremidade aplica uma força conhecida). Portanto, leia a figura/condições do enunciado original para saber como fixar R_0. Em muitas questões de livro, R_0 acaba sendo simplesmente a soma algébrica das cargas à direita quando se toma o corpo direito do corte (maneira alternativa de obter N(x) sem usar reações).

Passo 7

Incorporei agora os termos de cargas concentradas: a forma geral e compacta frequentemente usada (e que você pode memorizar para a prova) é
N(x)=R_0 - \int_{0}^{x} q(s)\,ds - P_1 H(x-x_1) - P_2 H(x-x_2),
onde H(\cdot) é a função de Heaviside (passo unitário): H(y)=0 se y<0 e H(y)=1 se y>0. Assim cada termo P_i H(x-x_i) só aparece quando x ultrapassa a posição x_i. Explicando informalmente: subtrai-se as cargas concentradas apenas depois que a seção passa pela posição delas. A tensão então é
\sigma(x)=\dfrac{N(x)}{A} = \dfrac{R_0 - \displaystyle\int_{0}^{x} q(s)\,ds - P_1 H(x-x_1) - P_2 H(x-x_2)}{A}.

Passo 8

Aplicação prática para 0<x\le 0{,}5: para obter a expressão específica neste intervalo você precisa saber se x_1 e x_2 estão maiores ou menores que 0{,}5. Há três situações típicas que você deve checar na figura do enunciado:
  1. Se x_1>0{,}5 e x_2>0{,}5: nenhuma carga concentrada entra no segmento [0,x] para x\le0{,}5, então \sigma(x)=(R_0-qx)/A.
  2. Se, por exemplo, x_1\le 0{,}5 < x_2: para 0<x<x_1 \sigma(x)=(R_0-qx)/A; para x_1<x\le0{,}5 \sigma(x)=(R_0-qx-P_1)/A. Ou seja, há um salto em N(x) (e portanto em \sigma(x)) ao atravessar x_1.
  3. Se ambos x_1 e x_2 estão em [0,0{,}5]: então para intervalos entre as posições as fórmulas são parecidas, com soma das cargas já incluída.

Passo 9

Resumo do procedimento que faça na prova, passo a passo (prático e rápido):
  • leia a figura e anote q (ou q(x)), P_1,P_2 e suas posições x_1,x_2; anote A.
  • escolha referência de sinais e coordenada x.
  • faça um corte em x e escreva equilíbrio do segmento (esquerdo ou direito) sem esquecer de incluir apenas as cargas que estão do mesmo lado do corte.
  • escreva N(x) como soma algébrica das forças externas sobre esse segmento (ou como R_0 - cargas internas até x se usar a extremidade esquerda).
  • divida por A para obter \sigma(x).
  • verifique intervalos em que cargas concentradas entram (função por partes); é normal escrever \sigma(x) em trechos com diferentes fórmulas.

Resposta

Não é possível dar a expressão numérica final para \sigma(x) em 0<x\le 0{,}5\\ \mathrm{m} porque a posição e os valores das cargas concentradas e a intensidade numérica da carga distribuída não foram fornecidos (nem a figura). A expressão geral simbólica é:
\displaystyle \sigma(x)=\dfrac{R_0 - \int_{0}^{x} q(s)\,ds - P_1 H(x-x_1) - P_2 H(x-x_2)}{A},
onde A=400\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}^2, q(s) é a intensidade da carga distribuída (se uniforme, \int_0^x q(s)\,ds=qx), P_1,P_2 são as cargas concentradas aplicadas nas posições x_1,x_2, H é a função de Heaviside, e R_0 é a força na extremidade x=0 determinada pelas condições de equilíbrio global (substitua os valores numéricos e ajuste os termos H(x-x_i) conforme as posições relativas para obter a fórmula em 0<x\le 0{,}5).

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