*1-60. The bar has a cross-sectional area of
. If it is subjected to a uniform axial distributed loading along its length and to two concentrated loads, determine the average normal stress in the bar as a function of
for
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a tensão normal média na barra como função de
para
.
Informação explícita dada: a área da seção transversal é (vou escrever isto em notação direta:
).
Informações que não foram fornecidas no enunciado que você me enviou (e que normalmente são necessárias para um resultado numérico completo): magnitudes e posições (valores numéricos) das cargas concentradas, intensidade numérica da carga distribuída axial (se constante, qual valor) e a posição/condição das extremidades (que reações existem). Não há figura nem dados numéricos das cargas na mensagem.
Informação explícita dada: a área da seção transversal é
Informações que não foram fornecidas no enunciado que você me enviou (e que normalmente são necessárias para um resultado numérico completo): magnitudes e posições (valores numéricos) das cargas concentradas, intensidade numérica da carga distribuída axial (se constante, qual valor) e a posição/condição das extremidades (que reações existem). Não há figura nem dados numéricos das cargas na mensagem.
Observação importante: sem esses dados numéricos ou sem a figura que especifica onde estão as cargas concentradas e qual é a intensidade da carga distribuída, não é possível dar uma expressão numérica final para
. A seguir eu explico passo a passo o que se faz na prova e entrego a fórmula geral simbólica que você pode aplicar quando tiver os números.
Passo 2
Definimos coordenada e convenção de sinais (muito importante para não se perder na prova). Seja
medido a partir da extremidade esquerda da barra em direção à direita; o enunciado pede a função para
.
Escolhemos a convenção de sinais: tensão normal média positiva quando a barra está em tração (força axial interna positiva para “puxar”), e cargas aplicadas no sentido que tendem a tracionar a parte esquerda serão tomadas com sinal positivo ao somar forças (vou explicitar sempre o sinal ao usá-las). Você pode adotar outra convenção, mas mantenha-a consistente.
Escolhemos a convenção de sinais: tensão normal média positiva quando a barra está em tração (força axial interna positiva para “puxar”), e cargas aplicadas no sentido que tendem a tracionar a parte esquerda serão tomadas com sinal positivo ao somar forças (vou explicitar sempre o sinal ao usá-las). Você pode adotar outra convenção, mas mantenha-a consistente.
Passo 3
Modelo genérico das cargas (vou introduzir letra-variáveis para representar o que falta no enunciado, assim você aprende a formular e aplicar quando tiver os números):
- intensidade da carga axial distribuída (força por comprimento) supondo uniforme:
com unidades . Se for compressiva em sentido que reduz o comprimento, toma-se o sinal negativo adequado; aqui será o valor algébrico (já com sinal). - duas cargas concentradas:
aplicada em e aplicada em . Novamente, é algébrico (positivo se puxa na direção definida como positiva). - área:
.
Essas são as incógnitas/variáveis que substituem os dados numéricos ausentes.
Passo 4
Princípio de equilíbrio para obter a força axial interna
(que depois dá a tensão média
). Método padrão em prova: faz-se um corte na seção perpendicular ao eixo em posição
e escreve-se equilíbrio em (axial) daquela parte da barra. Uma forma prática e comum é considerar o corpo à esquerda do corte (segmento
até
). Sobre esse segmento atuam: a reação/força na extremidade esquerda (se houver), a carga distribuída ao longo de
a
, quaisquer cargas concentradas que estejam entre
e
, e a força interna na face cortada (que chamamos
). A equação de equilíbrio axial (somatório de forças = 0) dá:
onde
é a força externa na extremidade esquerda (se existir). Para evitar introduzir uma reação desconhecida, é mais prático escrever
em termos dos efeitos das cargas internas ao segmento e de uma constante de integração que será determinada pela condição global. Uma forma compacta e usada em muitos exercícios é:
onde
é a força resultante aplicada na extremidade esquerda (pode ser reação ou força aplicada diretamente). Aqui
é a intensidade distribuída possivelmente dependente de
; se
for uniforme constante, a integral simplifica.
Explicando cada termo:
-
: força externa na extremidade (pode ser positiva ou negativa). Em muitos problemas é obtida pela condição de equilíbrio global (soma das forças externas = 0). -
: resultado da carga distribuída ao longo do comprimento a . Se é constante, isto é simplesmente . -
: soma das cargas concentradas que estão entre 0 e (cada já com sinal).
Passo 5
Passo didático: caso mais comum (e simples) — carga distribuída uniforme
e nenhuma carga concentrada entre
e
. Nesse caso a expressão do Passo 4 vira, para
(assumindo que
e
, ou seja, as concentradas estão à direita do intervalo pedido):
Então a tensão normal média é
Aqui ficou bem explícito que, para obter o valor numérico, você precisa de
e de
. Se
for dado e se a condição global de equilíbrio permitir determinar
(por exemplo conhecendo todas as outras forças e sabendo como as reações se apoiam), você substitui e obtém
numérica.
Passo 6
Como determinar
(o raciocínio que se usa na prova): escreva o equilíbrio de toda a barra (somatório de forças externas = 0). Se a barra tem apenas as duas cargas concentradas
e a distribuída
e se as reações nas extremidades são
(esquerda) e
(direita), então
Isto dá apenas uma equação para duas reações
— em muitos problemas de barra em tração/compressão as reações se resolvem pela simetria ou por condições adicionais (por exemplo se uma extremidade é fixa e a outra livre, ou se uma extremidade aplica uma força conhecida). Portanto, leia a figura/condições do enunciado original para saber como fixar
. Em muitas questões de livro,
acaba sendo simplesmente a soma algébrica das cargas à direita quando se toma o corpo direito do corte (maneira alternativa de obter
sem usar reações).
Passo 7
Incorporei agora os termos de cargas concentradas: a forma geral e compacta frequentemente usada (e que você pode memorizar para a prova) é
onde
é a função de Heaviside (passo unitário):
se
e
se
. Assim cada termo
só aparece quando
ultrapassa a posição
. Explicando informalmente: subtrai-se as cargas concentradas apenas depois que a seção passa pela posição delas. A tensão então é
Passo 8
Aplicação prática para
: para obter a expressão específica neste intervalo você precisa saber se
e
estão maiores ou menores que
. Há três situações típicas que você deve checar na figura do enunciado:
- Se
e : nenhuma carga concentrada entra no segmento para , então . - Se, por exemplo,
: para ; para . Ou seja, há um salto em (e portanto em ) ao atravessar . - Se ambos
e estão em : então para intervalos entre as posições as fórmulas são parecidas, com soma das cargas já incluída.
Passo 9
Resumo do procedimento que faça na prova, passo a passo (prático e rápido):
- leia a figura e anote
(ou ), e suas posições ; anote . - escolha referência de sinais e coordenada
. - faça um corte em
e escreva equilíbrio do segmento (esquerdo ou direito) sem esquecer de incluir apenas as cargas que estão do mesmo lado do corte. - escreva
como soma algébrica das forças externas sobre esse segmento (ou como cargas internas até se usar a extremidade esquerda). - divida por
para obter . - verifique intervalos em que cargas concentradas entram (função por partes); é normal escrever
em trechos com diferentes fórmulas.
Resposta
Não é possível dar a expressão numérica final para
em
porque a posição e os valores das cargas concentradas e a intensidade numérica da carga distribuída não foram fornecidos (nem a figura). A expressão geral simbólica é:
onde
,
é a intensidade da carga distribuída (se uniforme,
),
são as cargas concentradas aplicadas nas posições
,
é a função de Heaviside, e
é a força na extremidade
determinada pelas condições de equilíbrio global (substitua os valores numéricos e ajuste os termos
conforme as posições relativas para obter a fórmula em
).