The prismatic bar has a cross-sectional area
. If it is subjected to a distributed axial loading that increases linearly from
at
to
at
, and then decreases linearly to
at
, determine the average normal stress in the bar as a function of
for
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a tensão média normal na barra como função de
para
.
Informações dadas: a barra é prismática com área da secção transversal . A carga distribuída axial
varia linearmente de
em
até
em
, e depois decresce linearmente até
em
. Queremos
(tensão média normal) para
.
Informações dadas: a barra é prismática com área da secção transversal
Passo 2
Estratégia (explicada didaticamente): a tensão média normal em uma seção é a força axial interna resultante dividida pela área, isto é
, onde
é a força interna axial em uma seção em
. Para obter
usamos equilíbrio estático: consideramos a parte da barra à direita da seção
(ou à esquerda — o resultado será equivalente em módulo) e somamos as cargas distribuídas nessa parte. Para
teremos que integrar a função
de
até
. Vou calcular
e depois dividir por
.
Passo 3
Expressar
explicitamente (pegando a informação do enunciado sobre o perfil linear):
Para (ramo crescente) temos
Para
pois é uma reta que passa por
e
.
Para (ramo decrescente) temos
Para
pois é uma reta que vale
em
e
em
.
Passo 4
Montar a integral para
quando
: a integral de
até
divide-se em duas partes (de
até
com a expressão do primeiro ramo, e de
até
com a expressão do segundo ramo):
Passo 5
Calcular a primeira integral passo a passo:
Passo 6
Calcular a segunda integral passo a passo:
Avaliaremos os limites: para
obtemos
. Para
obtemos
. A diferença é
. Multiplicando por
resulta
Passo 7
Somar as duas contribuições para obter
:
Fatorando
e simplificando:
Passo 8
Dividir por
para obter a tensão média normal
:
Isto é a expressão da tensão média normal para
. (No exame: se for necessário o sinal convém declarar a convenção de sinais; aqui tomei
como o resultado da integral das cargas à direita.)