The prismatic bar has a cross-sectional area A. If it is subjected to a distributed axial loading that increases linearly from w=0 at x=0 to w=w_{0} at x=a, and then decreases linearly to w=0 at x=2 a, determine the average normal stress in the bar as a function of x for 0 \leq x<a.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão média normal na barra como função de x para 0 \le x < a.
Informações dadas: a barra é prismática com área da secção transversal A. A carga distribuída axial w varia linearmente de w=0 em x=0 até w=w_0 em x=a, e depois decresce linearmente até w=0 em x=2a. Queremos \sigma(x) (tensão média normal) para 0\le x<a.

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente): a tensão média normal em uma seção é a força axial interna resultante dividida pela área, isto é \sigma(x)=\dfrac{N(x)}{A}, onde N(x) é a força interna axial em uma seção em x. Para obter N(x) usamos equilíbrio estático: consideramos a parte da barra à direita da seção x (ou à esquerda — o resultado será equivalente em módulo) e somamos as cargas distribuídas nessa parte. Para 0\le x<a teremos que integrar a função w(s) de s=x até s=2a. Vou calcular N(x)=\displaystyle\int_{x}^{2a} w(s)\,ds e depois dividir por A.

Passo 3

Expressar w(s) explicitamente (pegando a informação do enunciado sobre o perfil linear):
Para 0\le s\le a (ramo crescente) temos
w(s)=\frac{w_0}{a}\,s,
pois é uma reta que passa por (0,0) e (a,w_0).
Para a\le s\le 2a (ramo decrescente) temos
w(s)=\frac{w_0}{a}\,(2a-s),
pois é uma reta que vale w_0 em s=a e 0 em s=2a.

Passo 4

Montar a integral para N(x) quando 0\le x<a: a integral de x até 2a divide-se em duas partes (de x até a com a expressão do primeiro ramo, e de a até 2a com a expressão do segundo ramo):
N(x)=\int_{x}^{2a} w(s)\,ds = \int_{x}^{a} \frac{w_0}{a}\,s\,ds \;+\; \int_{a}^{2a} \frac{w_0}{a}\,(2a-s)\,ds.

Passo 5

Calcular a primeira integral passo a passo:
\int_{x}^{a} \frac{w_0}{a}\,s\,ds = \frac{w_0}{a}\left[\frac{s^2}{2}\right]_{s=x}^{s=a} = \frac{w_0}{a}\left(\frac{a^2}{2}-\frac{x^2}{2}\right) = \frac{w_0}{2a}\left(a^2-x^2\right).

Passo 6

Calcular a segunda integral passo a passo:
\int_{a}^{2a} \frac{w_0}{a}(2a-s)\,ds = \frac{w_0}{a}\left[2a s - \frac{s^2}{2}\right]_{s=a}^{s=2a}.
Avaliaremos os limites: para s=2a obtemos 2a(2a)-\dfrac{(2a)^2}{2}=4a^2-2a^2=2a^2. Para s=a obtemos 2a(a)-\dfrac{a^2}{2}=2a^2-\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{3a^2}{2}. A diferença é 2a^2-\dfrac{3a^2}{2}=\dfrac{a^2}{2}. Multiplicando por \dfrac{w_0}{a} resulta
\int_{a}^{2a} \frac{w_0}{a}(2a-s)\,ds = \frac{w_0}{a}\cdot\frac{a^2}{2} = \frac{w_0 a}{2}.

Passo 7

Somar as duas contribuições para obter N(x):
N(x)=\frac{w_0}{2a}\left(a^2-x^2\right) + \frac{w_0 a}{2}.
Fatorando \dfrac{w_0}{2} e simplificando:
N(x)=\frac{w_0}{2}\!\left(\frac{a^2-x^2}{a}+a\right) = \frac{w_0}{2}\!\left(2a-\frac{x^2}{a}\right) = w_0\!\left(a-\frac{x^2}{2a}\right).

Passo 8

Dividir por A para obter a tensão média normal \sigma(x):
\sigma(x)=\frac{N(x)}{A}=\frac{w_0}{A}\!\left(a-\frac{x^2}{2a}\right).
Isto é a expressão da tensão média normal para 0\le x<a. (No exame: se for necessário o sinal convém declarar a convenção de sinais; aqui tomei N(x) como o resultado da integral das cargas à direita.)

Resposta

\sigma(x)=\frac{w_0}{A}\!\left(a-\frac{x^2}{2a}\right),\qquad 0\le x<a

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