9-60 We briefly mention the compressible stream function \psi_{\rho} in this chapter, defined in Cartesian coordinates as \rho u= \left(\partial \psi_{\rho} / \partial y\right) and \rho v=-\left(\partial \psi_{\rho} / \partial x\right). What are the primary dimensions of \psi_{\rho} ? Write the units of \psi_{\rho} in primary SI units and in primary English units.

Passo 1

O enunciado dá a definição do stream function compressível \psi_{\rho} em coordenadas cartesianas:
\rho u = \frac{\partial \psi_{\rho}}{\partial y}, \qquad \rho v = -\frac{\partial \psi_{\rho}}{\partial x}.
O que é pedido: determinar as dimensões primárias de \psi_{\rho} e escrever suas unidades em unidades primárias SI e em unidades primárias inglesas.

Passo 2

Estratégia (só para orientar): fazemos análise dimensional da igualdade \rho u = \partial \psi_{\rho}/\partial y. A derivada espacial \partial \psi_{\rho}/\partial y tem as dimensões de \psi_{\rho} divididas por comprimento. Assim, se conhecermos as dimensões de \rho u obtemos as de \psi_{\rho} multiplicando por comprimento.

Passo 3

Anotar as dimensões básicas das quantidades envolvidas:
  • Densidade \rho tem dimensões \\ M L^{-3} (massa por volume).
  • Velocidade u tem dimensões \\ L T^{-1} (comprimento por tempo).

Passo 4

Multiplicando as dimensões de \rho e u obtemos as dimensões de \rho u:
[\rho u] = \bigl(M L^{-3}\bigr)\bigl(L T^{-1}\bigr) = M L^{-2} T^{-1}.
Como \rho u = \partial \psi_{\rho}/\partial y e \partial/\partial y traz um fator L^{-1}, temos
\frac{[\psi_{\rho}]}{L} = M L^{-2} T^{-1}.
Multiplicando por L,
[\psi_{\rho}] = M L^{-1} T^{-1}.

Passo 5

Converter para unidades primárias SI: usar M=\mathrm{kg}, L=\mathrm{m}, T=\mathrm{s}. Assim as unidades são
\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Converter para unidades primárias inglesas (massa primária = slug, comprimento = ft, tempo = s). Assim as unidades são
\mathrm{slug}\,\mathrm{ft}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 7

Interpretação breve e motivadora: \psi_{\rho} tem dimensão de “massa por comprimento por tempo”, ou seja, diferenças de \psi_{\rho} entre duas linhas representam uma vazão de massa por unidade de comprimento (por exemplo por unidade de profundidade em fluxo bidimensional). Isso ajuda a entender fisicamente por que aparece \rho u nas derivadas.

Resposta

M L^{-1} T^{-1}
\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}
\mathrm{slug}\,\mathrm{ft}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}

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