9-60 We briefly mention the compressible stream function
in this chapter, defined in Cartesian coordinates as
and
. What are the primary dimensions of
? Write the units of
in primary SI units and in primary English units.
Passo 1
O enunciado dá a definição do stream function compressível
em coordenadas cartesianas:
O que é pedido: determinar as dimensões primárias de
e escrever suas unidades em unidades primárias SI e em unidades primárias inglesas.
Passo 2
Estratégia (só para orientar): fazemos análise dimensional da igualdade
. A derivada espacial
tem as dimensões de
divididas por comprimento. Assim, se conhecermos as dimensões de
obtemos as de
multiplicando por comprimento.
Passo 3
Anotar as dimensões básicas das quantidades envolvidas:
- Densidade
tem dimensões (massa por volume). - Velocidade
tem dimensões (comprimento por tempo).
Passo 4
Multiplicando as dimensões de
e
obtemos as dimensões de
:
Como
e
traz um fator
, temos
Multiplicando por
,
Passo 5
Converter para unidades primárias SI: usar
,
,
. Assim as unidades são
Passo 6
Converter para unidades primárias inglesas (massa primária = slug, comprimento = ft, tempo = s). Assim as unidades são
Passo 7
Interpretação breve e motivadora:
tem dimensão de “massa por comprimento por tempo”, ou seja, diferenças de
entre duas linhas representam uma vazão de massa por unidade de comprimento (por exemplo por unidade de profundidade em fluxo bidimensional). Isso ajuda a entender fisicamente por que aparece
nas derivadas.