2.61 Determine o módulo e a direção da força
F=(2900 \mathrm{~N}) \mathrm{I}+(3450 \mathrm{~N}) \mathrm{J}-(1500 \mathrm{~N}) k

Passo 1

O enunciado dá a força \displaystyle \vec{F}=(2900\,\mathrm{N})\mathbf{i}+(3450\,\mathrm{N})\mathbf{j}-(1500\,\mathrm{N})\mathbf{k}
e pede o módulo e a direção dessa força.
Conteúdo: vetores em \mathbb{R}^3, módulo de vetor e cossenos (e ângulos) diretores.

Passo 2

Para achar o módulo de \vec{F}, usamos a fórmula
|\vec{F}|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}
onde F_x=2900, F_y=3450, F_z=-1500. Então
|\vec{F}|=\sqrt{2900^2 + 3450^2 + (-1500)^2} =\sqrt{8{,}41\times10^6 + 11{,}9025\times10^6 + 2{,}25\times10^6} =\sqrt{22{,}5625\times10^6} =4750\,\mathrm{N}.

Passo 3

A direção de \vec{F} pode ser descrita pelo vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\vec{F}}{|\vec{F}|} =\frac{1}{4750}\bigl(2900\,\mathbf{i}+3450\,\mathbf{j}-1500\,\mathbf{k}\bigr) =0,6105\,\mathbf{i}+0,7263\,\mathbf{j}-0,3158\,\mathbf{k}.

Passo 4

Os cossenos diretores são
\cos\alpha=\frac{F_x}{|\vec{F}|}=0,6105,\quad \cos\beta=\frac{F_y}{|\vec{F}|}=0,7263,\quad \cos\gamma=\frac{F_z}{|\vec{F}|}=-0,3158.
Desses cossenos, os ângulos que \vec{F} faz com os eixos x, y e z são
\alpha=\operatorname{arccos}(0,6105)\approx52,4^\circ,\quad \beta=\operatorname{arccos}(0,7263)\approx43,4^\circ,\quad \gamma=\operatorname{arccos}(-0,3158)\approx108,4^\circ.

Resposta

O módulo é 4750\,\mathrm{N}.
A direção pode ser dada pelo vetor unitário
\mathbf{u}=0,6105\,\mathbf{i}+0,7263\,\mathbf{j}-0,3158\,\mathbf{k},
ou pelos cossenos diretores \cos\alpha=0,6105, \cos\beta=0,7263, \cos\gamma=-0,3158, correspondendo aos ângulos de direção \alpha\approx52,4^\circ, \beta\approx43,4^\circ e \gamma\approx108,4^\circ.

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