2.62 Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos \theta_{x}=75^{\circ}. e \theta_{z}=130^{\circ}. Sabendo que a componente y da força é +1500 N , determine: (a) as componentes e o módulo da força e (b) o valor de \theta_{y}

Passo 1

O enunciado dá os ângulos de direção de uma força \mathbf{F} em relação aos eixos x e z, sendo \theta_{x}=75^\circ e \theta_{z}=130^\circ, e informa a componente y dessa força como F_{y}=+1500\,\text{N}. Queremos achar as componentes F_x, F_z, o módulo \lVert \mathbf{F}\rVert (item a) e o ângulo \theta_{y} (item b). Para isso usaremos que
\cos\theta_{i} = \frac{F_{i}}{\lVert \mathbf{F}\rVert}
e que as diretrizes satisfazem
\cos^2\theta_{x} + \cos^2\theta_{y} + \cos^2\theta_{z} = 1.

Passo 2

Calculamos as diretrizes conhecidas:
\cos75^\circ \approx 0,2588, \quad \cos130^\circ = -\cos50^\circ \approx -0,6428.
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\cos^2 75^\circ \approx 0,0669, \quad \cos^2 130^\circ \approx 0,4132.

Passo 3

Da identidade das diretrizes,
\cos^2\theta_{y} = 1 - \bigl(\cos^2 75^\circ + \cos^2 130^\circ\bigr) \approx 1 - (0,0669 + 0,4132) = 0,5199,
e como F_{y}>0, temos
\cos\theta_{y} = +\sqrt{0,5199}\approx 0,7209.

Passo 4

O módulo da força é dado por
\lVert \mathbf{F}\rVert = \frac{F_{y}}{\cos\theta_{y}} = \frac{1500}{0,7209} \approx 2080,8\,\text{N}.

Passo 5

As componentes x e z vêm de F_{i} = \lVert \mathbf{F}\rVert\cos\theta_{i}:
F_{x} \approx 2080,8 \times 0,2588 = 538,4\,\text{N}, \quad F_{z} \approx 2080,8 \times (-0,6428) = -1337,6\,\text{N}.

Passo 6

Por fim, o ângulo \theta_{y} satisfaz
\theta_{y} = \operatorname{arccos}(0,7209)\approx 44,1^\circ.

Resposta

(a) F_{x}\approx 538,4\,\text{N},\enspace F_{y}=1500\,\text{N},\enspace F_{z}\approx -1337,6\,\text{N},\enspace \lVert \mathbf{F}\rVert\approx 2080,8\,\text{N}.
(b) \theta_{y}\approx 44,1^\circ.

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