61 Dois cubos do mesmo material e de arestas “a” e " 2 " estão nas temperaturas de 45 e 90^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Duas faces são postas em contato por algum tempo para atingir o equilíbrio térmico. Qual é a temperatura de equilíbrio? Não há mudança de fase durante o processo.
62 Três esferas de metal do mesmo material são postas em contato. Os raios das esferas são: R, 2R 3R e estão a temperaturas de 10 ; 10 e 20^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Calcular a temperatura de equilíbrio do sistema (em { }^{\circ} \mathrm{C} ).

Passo 1

Enunciados e dados importantes (vou listar tudo que foi dado, pergunta e valores numéricos):
  • Questão 61: Dois cubos do mesmo material, com arestas \,a e \,2a, estão inicialmente nas temperaturas \,45^\circ\mathrm{C} e \,90^\circ\mathrm{C}, respectivamente. Duas faces são postas em contato até atingirem equilíbrio térmico. Pergunta: qual é a temperatura de equilíbrio?
  • Dados relevantes (questão 61):
    \;T_{1,\text{inicial}}=45^\circ\mathrm{C},
    \;T_{2,\text{inicial}}=90^\circ\mathrm{C},
    arestas: \;a e \;2a,
    mesmo material (mesmo \rho e c), sem mudança de fase.
  • Questão 62: Três esferas do mesmo material com raios \;R, \;2R e \;3R estão inicialmente nas temperaturas \;10^\circ\mathrm{C}, \;10^\circ\mathrm{C} e \;20^\circ\mathrm{C}, respectivamente. Pergunta: calcular a temperatura de equilíbrio do sistema (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Dados relevantes (questão 62):
    esferas com raios \;R,\;2R,\;3R,
    temperaturas iniciais \;T_{A}=10^\circ\mathrm{C},\;T_{B}=10^\circ\mathrm{C},\;T_{C}=20^\circ\mathrm{C},
    mesmo material (mesmo \rho e c), sem mudança de fase.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Quando corpos trocam calor sem perda para o ambiente, o calor total é conservado: o calor perdido pelos corpos quentes é igual ao calor ganho pelos corpos frios.
  • Fórmula do calor sensível para um corpo:
Q = m\,c\,\Delta T
onde:
  • Q é o calor trocado (positiva se o corpo recebe calor, negativa se perde calor),
  • m é a massa do corpo,
  • c é o calor específico do material (mesmo para todos os corpos aqui),
  • \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} é a variação de temperatura.
  • Como todos os corpos são do mesmo material, c é igual para todos e cancela nas equações de balanço; assim só precisamos das massas relativas.
  • Para objetos de mesma densidade \rho, a massa é proporcional ao volume:
m=\rho \times \text{volume}.
Então podemos usar volumes relativas (por exemplo, \,a^3 para cubo de aresta \,a e \tfrac{4}{3}\pi r^3 para esfera) para obter razões de massa.
  • Passo prático: o equilíbrio térmico T_{\text{eq}} é a média ponderada das temperaturas iniciais com pesos iguais às massas. Para dois corpos:
T_{\text{eq}}=\frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1+m_2}.
E para vários corpos:
T_{\text{eq}}=\frac{\sum_i m_i T_i}{\sum_i m_i}.
Isso vem diretamente de \sum_i m_i c (T_{\text{eq}}-T_i)=0 e cancelamento de c.

Passo 3

Resolução detalhada da Questão 61 (cubos com arestas \,a e \,2a) — calculando massas relativas:
  • Volume do cubo de aresta \,a é \;V_1 = a^3.
  • Volume do cubo de aresta \,2a é \;V_2 = (2a)^3 = 8a^3.
  • Como a densidade é a mesma, as massas satisfazem
m_1 \propto a^3,\qquad m_2 \propto 8a^3,
ou seja, em razão, m_1:m_2 = 1:8.
  • Usamos a fórmula da média ponderada (explicada no passo anterior):
T_{\text{eq}}=\frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1+m_2}.
Substituindo as razões de massa e as temperaturas iniciais \;T_1=45^\circ\mathrm{C}, \;T_2=90^\circ\mathrm{C}:
T_{\text{eq}}=\frac{1\cdot 45 + 8\cdot 90}{1+8}.

Passo 4

Cálculo numérico e verificação da Questão 61:
  • Numerador:
1\cdot 45 + 8\cdot 90 = 45 + 720 = 765.
  • Denominador:
1+8=9.
  • Portanto
T_{\text{eq}}=\frac{765}{9}=85^\circ\mathrm{C}.
Verificação rápida de sentido físico: o cubo maior (massa 8) domina a média e estava mais quente ( 90^\circ\mathrm{C}), então o equilíbrio fica mais próximo de 90^\circ\mathrm{C} do que de 45^\circ\mathrm{C}. Resultado consistente.

Passo 5

Resolução detalhada da Questão 62 (três esferas com raios \,R,\;2R,\;3R) — calculando massas relativas:
  • Volume de uma esfera de raio r é \;V=\tfrac{4}{3}\pi r^3.
  • Para as três esferas:
    • esfera A (raio R): V_A=\tfrac{4}{3}\pi R^3.
    • esfera B (raio 2R): V_B=\tfrac{4}{3}\pi (2R)^3=\tfrac{4}{3}\pi 8R^3 = 8\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3.
    • esfera C (raio 3R): V_C=\tfrac{4}{3}\pi (3R)^3=\tfrac{4}{3}\pi 27R^3 = 27\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3.
  • Como a densidade é a mesma, as massas são proporcionais aos volumes, então as razões de massa são
m_A:m_B:m_C = 1:8:27.
  • Aplicamos a fórmula da média ponderada para três corpos:
T_{\text{eq}}=\frac{m_A T_A + m_B T_B + m_C T_C}{m_A+m_B+m_C}.
Substituindo m_A=1,\;m_B=8,\;m_C=27 e T_A=10^\circ\mathrm{C},\;T_B=10^\circ\mathrm{C},\;T_C=20^\circ\mathrm{C}:
T_{\text{eq}}=\frac{1\cdot 10 + 8\cdot 10 + 27\cdot 20}{1+8+27}.

Passo 6

Cálculo numérico e verificação da Questão 62:
  • Numerador:
1\cdot 10 + 8\cdot 10 + 27\cdot 20 = 10 + 80 + 540 = 630.
  • Denominador:
1+8+27 = 36.
  • Portanto
T_{\text{eq}}=\frac{630}{36}=17{,}5^\circ\mathrm{C}.
Verificação de sentido físico: a maior esfera (massa 27) estava mais quente ( 20^\circ\mathrm{C}), por isso o equilíbrio fica entre 10^\circ\mathrm{C} e 20^\circ\mathrm{C}, mais próximo de 20^\circ\mathrm{C}, aqui em 17{,}5^\circ\mathrm{C}, o que faz sentido.

Resposta

  1. 85^\circ\mathrm{C}\n
  2. 17{,}5^\circ\mathrm{C}

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