70 Uma esfera de metal com massa de 2 kg é deixada cair a partir da altura de 160 m , e ao impactar no chão eleva-se a metade da altura original. Um quarto da energia se transformou em calor e foi dissipado para o ambiente exterior. Determine o aumento da temperatura ( \mathrm{c}_{\mathrm{E}}=200 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}{ }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
71 Um recipiente com capacidade térmica desprezável, contém 30 gramas de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}. Determine a massa de vapor de água a 100^{\circ} \mathrm{C} que deve ser injetado no recipiente, para se obter água líquida a 100^{\circ} \mathrm{C} .\left(\mathrm{L}_{\mathrm{F}}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, \mathrm{Lv}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}\right)

Passo 1

Vou separar claramente o que cada enunciado pede e listar os dados fornecidos.
Para o problema 70:
  • Dados: massa da esfera m=2\\ \mathrm{kg}, altura inicial h_1=160\\ \mathrm{m}, altura de rebatimento h_2=\dfrac{1}{2}h_1=80\\ \mathrm{m} (o enunciado diz “eleva-se a metade da altura original”), aceleração da gravidade g=10\\ \mathrm{m/s^2}, calor específico do metal c_E=200\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
  • Informação extra do enunciado: “Um quarto da energia se transformou em calor e foi dissipado para o ambiente exterior.” (mais abaixo vou interpretar precisamente o que isso significa para distribuir a energia).
  • Pergunta: determinar o aumento de temperatura da esfera \Delta T.
Para o problema 71:
  • Dados: recipiente de capacidade térmica desprezível; massa de gelo inicial m_{\text{gelo}}=30\\ \mathrm{g} a 0^\circ\mathrm{C}; vapor de água a 100^\circ\mathrm{C} será injetado; calor latente de fusão \mathrm{L_F}=80\\ \mathrm{cal/g}; calor latente de vaporização \mathrm{L_v}=540\\ \mathrm{cal/g}.
  • Pergunta: determinar a massa de vapor m_{\text{vapor}} que deve ser injetada para obter água líquida a 100^\circ\mathrm{C}.
  • Observação do enunciado: recipiente com capacidade térmica desprezível significa que não armazenará calor; só o gelo, a água e o vapor participam do balanço térmico.

Passo 2

Entendendo as fórmulas físicas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Energia potencial gravitacional: a energia associada a um corpo de massa m à altura h relativa a um referencial é
E_p = m g h,
onde m é a massa (em kg), g a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}) e h a altura (em m).
  • Conservação de energia mecânica antes/ depois do choque: a diferença entre a energia potencial inicial e a que o corpo tem ao atingir a altura máxima depois do choque é a energia mecânica perdida no choque.
  • Calor (energia interna) absorvida por um corpo ao se elevar sua temperatura:
Q = m c \Delta T,
onde m é a massa (em kg), c é o calor específico (em \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}) e \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Calores latentes (problema 71): calor necessário para mudar de fase sem variar temperatura. Para massa m em gramas,
Q_{\text{fusão}} = m \, \mathrm{L_F},\qquad Q_{\text{condensação}} = m \, \mathrm{L_v},ãçã
onde \mathrm{L_F} e \mathrm{L_v} estão em \mathrm{cal/g}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo em cada problema.

Passo 3

Resolução do problema 70 — calcular as energias envolvidas.
  1. Energia potencial inicial da esfera:
E_i = m g h_1 = 2\cdot 10\cdot 160 = 3200\\ \mathrm{J}.
  1. Energia potencial correspondente à altura de rebatimento h_2=80\\ \mathrm{m}:
E_f = m g h_2 = 2\cdot 10\cdot 80 = 1600\\ \mathrm{J}.
  1. Energia mecânica perdida no choque (diferença):
\Delta E = E_i - E_f = 3200 - 1600 = 1600\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Interpretação do trecho “Um quarto da energia se transformou em calor e foi dissipado para o ambiente exterior” e como distribuir \Delta E.
  • A energia que deixou de ser energia mecânica na queda é \Delta E=1600\\ \mathrm{J}. Essa energia perdida virou energia interna/ calor. Parte dessa energia foi dissipada para o ambiente (“dissipado para o ambiente exterior”) e o restante aqueceu a própria esfera.
  • O enunciado diz que “um quarto da energia” foi dissipado. O sentido físico mais natural (e o que vou usar) é: um quarto da energia perdida \Delta E foi liberado para o ambiente e não aqueceu a esfera. Logo, a fração dissipada é 1/4 de \Delta E, e a fração que efetivamente ficou na esfera como calor é 3/4 de \Delta E.
    (Se alguém interpretasse como 1/4 da energia inicial, o procedimento seria análogo; aqui adotamos a leitura padrão: 1/4 da energia perdida foi dissipada.)

Passo 5

Calcular o calor que ficou na esfera e usar a fórmula do calor sensível para obter \Delta T.
  1. Calor total que ficou na esfera:
Q_{\text{esfera}} = \left(1 - \tfrac{1}{4}\right)\Delta E = \tfrac{3}{4}\Delta E = \tfrac{3}{4}\cdot 1600 = 1200\\ \mathrm{J}.
Expliquei antes: \tfrac{1}{4}\Delta E foi para o ambiente, \tfrac{3}{4}\Delta E aqueceu a esfera.
  1. Aplicando Q = m c \Delta T para encontrar \Delta T:
\Delta T = \dfrac{Q_{\text{esfera}}}{m c_E} = \dfrac{1200}{2\cdot 200} = \dfrac{1200}{400} = 3\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Comentário breve (estímulo): chegamos a um resultado redondinho, \Delta T=3^\circ\mathrm{C}. Tá ficando claro: primeiro calcula-se a energia perdida mecanicamente, depois vê-se qual fração vira calor no corpo, depois usa-se Q=m c\Delta T. Muito bom!
Agora vou resolver o problema 71 passo a passo.

Passo 7

Entendendo o processo físico no problema 71 e a estratégia.
  • Temos 30\\ \mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C}. Para que essa massa se transforme em água líquida a 100^\circ\mathrm{C} é necessário:
    1. fornecer calor para fundir o gelo (cada grama precisa de \mathrm{L_F} cal);
    2. depois aquecer a água derretida de 0^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} (cada grama precisa de 100 cal, pois o calor específico da água é 1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}).
  • O vapor de água à 100^\circ\mathrm{C} ao ser injetado condensa, liberando \mathrm{L_v} cal por grama. Após condensar, essa água resultante estará a 100^\circ\mathrm{C} (não precisa mais ser aquecida). Portanto, cada grama de vapor fornece \mathrm{L_v} cal úteis para aquecer e fundir o gelo.
  • Como o recipiente tem capacidade térmica desprezível, fazemos o balanço apenas entre o calor liberado pelo vapor e o calor necessário para o gelo virar água a 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Calcular o calor necessário para transformar os 30\\ \mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} em água líquida a 100^\circ\mathrm{C}.
  • Calor para fundir 30\\ \mathrm{g} de gelo:
Q_{\text{fusão}} = m_{\text{gelo}}\cdot \mathrm{L_F} = 30\cdot 80 = 2400\\ \mathrm{cal}.ã
  • Calor para aquecer os 30\\ \mathrm{g} de água de 0^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} (usando c_{\text{água}}=1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}á):
Q_{\text{aquec}} = m_{\text{gelo}}\cdot 100\cdot 1 = 30\cdot 100 = 3000\\ \mathrm{cal}.
  • Calor total necessário:
Q_{\text{necessário}} = Q_{\text{fusão}} + Q_{\text{aquec}} = 2400 + 3000 = 5400\\ \mathrm{cal}.áã

Passo 9

Calor fornecido por m gramas de vapor de água a 100^\circ\mathrm{C} ao condensar.
  • Cada grama de vapor que condensa fornece \mathrm{L_v}=540\\ \mathrm{cal}.
  • Portanto, calor fornecido por m_{\text{vapor}} gramas:
Q_{\text{fornecido}} = m_{\text{vapor}}\cdot 540.

Passo 10

Balanço de energia e cálculo da massa de vapor necessária.
  • Igualamos o calor fornecido ao calor necessário:
m_{\text{vapor}}\cdot 540 = 5400.
  • Logo,
m_{\text{vapor}} = \dfrac{5400}{540} = 10\\ \mathrm{g}.

Resposta

  1. \Delta T = 3^\circ\mathrm{C}
  2. m_{\text{vapor}} = 10\\ \mathrm{g}

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