49 Considere um calorímelro no qual existe uma certa massa de liquido. Para aquecer o conjunto liquido-calorímetro de 30^{\circ} \mathrm{C} para 60^{\circ} \mathrm{C} são necessários \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~J}. Por outro lado, \mathrm{Q}_{2} \mathrm{~J} elevam de 40^{\circ} \mathrm{C} para 80^{\circ} \mathrm{C} o calorímetro juntamente com o triplo da massa do líquido.
a) Determine a capacidade térmica do calorímetro nas seguintes situações:
i) \mathrm{Q}_{1}=2000 \mathrm{~J} . \mathrm{Q}_{2}=4000 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado pede a capacidade térmica do calorímetro, e fornece duas situações distintas com as energias necessárias. Dados fornecidos (retirei diretamente do enunciado):
  • Para aquecer o conjunto líquido + calorímetro de 30^\circ\mathrm{C} para 60^\circ\mathrm{C} são necessários Q_1 joules; no caso (i) Q_1=2000\\ \mathrm{J}.
  • Para aquecer o calorímetro juntamente com o triplo da massa do líquido de 40^\circ\mathrm{C} para 80^\circ\mathrm{C} são necessários Q_2 joules; no caso (i) Q_2=4000\\ \mathrm{J}.
O que se pede:
  • Determinar a capacidade térmica do calorímetro (vamos chamar de C, em \mathrm{J/K}) usando os valores dados.
Informações relevantes listadas:
  • Primeiro aquecimento: variação de temperatura \Delta T_1 = 60^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Segundo aquecimento: variação de temperatura \Delta T_2 = 80^\circ\mathrm{C}-40^\circ\mathrm{C}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Na segunda situação a massa do líquido é o triplo da massa da primeira situação.
  • Não foi dado o calor específico do líquido nem a massa separadamente; por isso vamos trabalhar com a capacidade térmica total do líquido L = m c (em \mathrm{J/K}), que é o produto da massa pelo calor específico.

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos (curtinha e prática):
  • A energia térmica necessária para elevar um corpo de temperatura é dada por
Q = C_{\text{total}}\;\Delta T,
onde C_{\text{total}} é a capacidade térmica do sistema (soma das capacidades térmicas das partes) e \Delta T é a variação de temperatura. A capacidade térmica tem unidade \mathrm{J/K}.
No nosso caso:
  • Na primeira situação o sistema é o líquido (capacidade L=m c) mais o calorímetro (capacidade C), então a capacidade total é L + C e a variação é \Delta T_1=30^\circ\mathrm{C}.
  • Na segunda situação a massa do líquido é triplicada, logo a capacidade do líquido passa a ser 3L; a capacidade total é 3L + C e a variação é \Delta T_2=40^\circ\mathrm{C}.
Essas observações já traduzem o problema em duas equações lineares em L e C.

Passo 3

Escrever as equações usando os valores fornecidos:
  • Primeira situação:
Q_1 = (L + C)\,\Delta T_1.
Substituindo Q_1=2000\\ \mathrm{J} e \Delta T_1=30^\circ\mathrm{C} (lembrando que 1^\circ\mathrm{C}=1\\ \mathrm{K} para diferenças de temperatura),
2000 = (L + C)\cdot 30.
  • Segunda situação:
Q_2 = (3L + C)\,\Delta T_2.
Substituindo Q_2=4000\\ \mathrm{J} e \Delta T_2=40^\circ\mathrm{C},
4000 = (3L + C)\cdot 40.
Agora temos o sistema de duas equações lineares em L e C.

Passo 4

Simplificar cada equação isolando L+C e 3L+C:
  • Da primeira equação
L + C = \frac{2000}{30} = \frac{200}{3}.
  • Da segunda equação
3L + C = \frac{4000}{40} = 100.
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar C:
(3L + C) - (L + C) = 100 - \frac{200}{3}.
O lado esquerdo simplifica para 2L. No direito:
100 - \frac{200}{3} = \frac{300}{3} - \frac{200}{3} = \frac{100}{3}.
Logo
2L = \frac{100}{3}\quad\Rightarrow\quad L = \frac{50}{3}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Calcular C usando L e a primeira equação L + C = \frac{200}{3}:
C = \frac{200}{3} - L = \frac{200}{3} - \frac{50}{3} = \frac{150}{3} = 50\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação rápida: a capacidade térmica do calorímetro é 50\\ \mathrm{J/K}. O valor encontrado para a capacidade térmica da massa inicial do líquido foi L=\dfrac{50}{3}\\ \mathrm{J/K} (útil para checar consistência).
Força aí — já temos o resultado numérico e as contas que você pode reproduzir na prova.

Resposta

C=50\\ \mathrm{J/K}

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