Deve-se bombear água a vazão de 45 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de um reservatório de grandes dimensões para uma tanque pressurizado (pressão manométrica =0,5 \mathrm{~atm} ). As tubulações de sucção e de descarga são de aço comercial 3 \frac{1}{2} 40 \mathrm{~S}. Sabendo-se que a bomba está situada a 6 m acima da superficie da água no reservatório e que o nível de água no tanque pressurizado mantém-se 5 m acima da bomba, solicita-se
a) Determinar a altura manométrica do sistema,
b) Especificar a bomba utilizada para realizar o bombeamento - Sugestão bomba INI 50-200 1750 rpm .
c) Avaliar se haverá cavitação.
Dados:
  • Comprimento total da tubulação de sucção: 8 m ;
  • Comprimento total da tubulação de descarga: 12 m ;
  • Densidade da água: 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3};
  • Pressão de vapor da água: 872 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2};
  • 1 \mathrm{~atm}=1,013 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2};
  • 1 \mathrm{ft}=0,3048 \mathrm{~m}
Considerar que a perda de carga na tubulação (incluindo os acessórios) pode ser dada pela equação:
  • l w_{f}=5,5 \cdot 10^{-5} \cdot L \cdot Q^{2}, na qual L é o comprimento da tubulação ( m ) e Q a vazão volumétrica \left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Determinar a altura manométrica do sistema (ou seja, a altura que a bomba precisa fornecer, incluindo a diferença de pressão e as perdas de carga);
  • (b) Especificar a bomba a ser utilizada (foi dada a sugestão: bomba INI 50-200 a 1750\\ \mathrm{rpm}, então vamos avaliar essa opção e dimensionar potência);
  • (c) Avaliar se haverá cavitação (ou seja, calcular o NPSH disponível e comparar com o NPSH requerido da bomba).
Dados fornecidos e relevantes (vou listar todos claramente):
  • Vazão volumétrica Q=45\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Pressão manométrica no tanque: p_{2,\mathrm{gauge}}=0{,}5\\ \mathrm{atm}.
  • A bomba está a 6\\ \mathrm{m} acima da superfície do reservatório (logo a elevação da superfície do reservatório em relação à bomba é -6\\ \mathrm{m}; usarei a superfície do reservatório como referência z=0).
  • O nível de água no tanque pressurizado fica 5\\ \mathrm{m} acima da bomba (logo a superfície do tanque está 11\\ \mathrm{m} acima da superfície do reservatório: z_{tanque}=11\\ \mathrm{m}).
  • Comprimento da tubulação de sucção: L_{s}=8\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação de descarga: L_{d}=12\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pressão de vapor da água: p_{v}=872\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • 1\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Fórmula para perda de carga (incluindo acessórios), em metros de coluna de água:
l_{wf}=5{,}5\cdot10^{-5}\cdot L\cdot Q^{2},
onde L em \mathrm{m} e Q em \mathrm{m^{3}/h}.
Observação importante: não foi fornecida a curva da bomba (NPSHr ou H–Q). Para avaliar cavitação irei calcular o NPSH disponível (NPSHa). Para concluir se há cavitação com certeza é necessário comparar NPSHa com o NPSHr da bomba (tirado do catálogo). Onde não tiver o catálogo, farei uma comparação com um valor típico indicado (e avisarei quando for uma suposição).

Passo 2

Converter pressões para “alturas” (cabeça) e calcular a parte estática da altura manométrica (explicando o conceito).
Breve aula: a altura manométrica que a bomba precisa vencer é composta por:
  • a diferença de pressão entre saída e entrada, expressa como cabeça de pressão \dfrac{p}{\rho g};
  • a diferença de cota entre saída e entrada ( z_{2}-z_{1});
  • as perdas de carga totais na tubulação (soma das perdas de sucção e descarga), expressas em metros de coluna de fluido.
Como a superfície do reservatório é aberta à atmosfera, a pressão manométrica ali é zero (referencia). O tanque pressurizado tem pressão manométrica 0{,}5\\ \mathrm{atm}. Portanto a contribuição da pressão será:
\text{cabeça de pressão}=\dfrac{p_{2,\mathrm{gauge}}}{\rho g}.çã
Cálculos:
  • Converter p_{2,\mathrm{gauge}}=0{,}5\\ \mathrm{atm} para Pa:
p_{2,\mathrm{gauge}}=0{,}5\cdot1{,}013\times10^{5}=50650\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Calcular \dfrac{p_{2,\mathrm{gauge}}}{\rho g}:
\dfrac{50650}{1000\cdot9{,}81}= \dfrac{50650}{9810}\approx5{,}1645\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de cota: a superfície do tanque está a z_{2}=11\\ \mathrm{m} acima da superfície do reservatório (que tomamos z_{1}=0). Logo a componente de cota é z_{2}-z_{1}=11\\ \mathrm{m}.
Portanto a parte estática da altura manométrica é:
H_{\text{estática}}=\dfrac{p_{2,\mathrm{gauge}}}{\rho g}+(z_{2}-z_{1})\approx5{,}1645+11=16{,}1645\\ \mathrm{m}.á

Passo 3

Calcular as perdas de carga nas tubulações usando a fórmula dada e explicar como ela funciona.
Breve aula: a fórmula fornecida
l_{wf}=5{,}5\cdot10^{-5}\cdot L\cdot Q^{2}
já dá a perda de carga (em metros) para uma tubulação de comprimento L e vazão Q (com Q em \mathrm{m^{3}/h}). A fórmula já inclui acessórios, segundo o enunciado, então somando a sucção e descarga obtemos a perda total.
Cálculos com Q=45\\ \mathrm{m^{3}/h} (portanto Q^{2}=45^{2}=2025):
  • Perda na sucção ( L_{s}=8\\ \mathrm{m}):
h_{fs}=5{,}5\cdot10^{-5}\cdot 8\cdot 2025 =0{,}000055\cdot16200=0{,}8910\\ \mathrm{m}.
  • Perda na descarga ( L_{d}=12\\ \mathrm{m}):
h_{fd}=5{,}5\cdot10^{-5}\cdot 12\cdot 2025 =0{,}000055\cdot24300=1{,}3365\\ \mathrm{m}.
  • Perda total:
h_{f,\text{total}}=h_{fs}+h_{fd}=0{,}8910+1{,}3365=2{,}2275\\ \mathrm{m}.
Observação didática: essa equação é prática — evita calcular velocidades, fatores de atrito e singularidades separadamente. Ela já entrega o valor da perda em metros de coluna d’água, para os parâmetros escolhidos.

Passo 4

Calcular a altura manométrica total H_{m} somando a parte estática e as perdas.
Fórmula:
H_{m}=H_{\text{estática}}+h_{f,\text{total}}.á
Substituindo os valores calculados:
H_{m}=16{,}1645+2{,}2275=18{,}3920\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sensatez para duas casas decimais:
H_{m}\approx18{,}39\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: essa é a cabeça que a bomba deve entregar na sua curva para a vazão de 45\\ \mathrm{m^{3}/h}.

Passo 5

Dimensionar a potência hidráulica e estimar a potência do eixo/motor; especificar a bomba sugerida.
Breve aula: potência hidráulica que a bomba precisa fornecer é
P_{\text{hid}}=\rho g Q_{\text{(m^{3}/s)}} H_{m}.
Para obter a potência no eixo precisamos dividir por a eficiência da bomba \eta:
P_{\text{eixo}}=\dfrac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
Conversões e cálculos:
  • Converter Q para \mathrm{m^{3}/s}:
Q=\dfrac{45}{3600}=0{,}0125\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Potência hidráulica:
P_{\text{hid}}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}0125\cdot18{,}3920.
Calculemos passo a passo:
1000\cdot9{,}81\cdot0{,}0125=122{,}625\quad\Rightarrow\quad P_{\text{hid}}=122{,}625\cdot18{,}3920\approx2255{,}8\\ \mathrm{W}\approx2{,}256\\ \mathrm{kW}.
  • Escolha de eficiência: como não foi dada a eficiência da bomba, uso um valor típico para bombas centrífugas pequenas a médias: \eta\approx65\% (ou 0{,}65). Isso é uma suposição conservadora para estimativa de potência do motor.
P_{\text{eixo}}=\dfrac{2{,}256}{0{,}65}\approx3{,}470\\ \mathrm{kW}.
Arredondamento prático: adotar um motor padronizado de 4{,}0\\ \mathrm{kW} (ou 5{,}HP comercialmente próximo) fornece margem de segurança.
Especificação sugerida (conforme enunciado e com nossos cálculos):
  • Bomba: INI 50-200 a 1750\\ \mathrm{rpm} (sugerida pelo enunciado).
  • Potência hidráulica necessária: P_{\text{hid}}\approx2{,}26\\ \mathrm{kW}.
  • Potência do eixo estimada: P_{\text{eixo}}\approx3{,}47\\ \mathrm{kW}.
  • Motor recomendado: 4{,}0\\ \mathrm{kW} a 1750\\ \mathrm{rpm} (verificar disponibilidade comercial e acoplamento).
Observação: a adequação da bomba INI 50-200 também deve ser verificada na curva H–Q do fabricante: a curva deverá mostrar que à vazão 45\\ \mathrm{m^{3}/h} a bomba fornece H\approx18{,}4\\ \mathrm{m}. Sem a curva não posso confirmar com 100% de certeza, mas os valores de potência e cabeça calculados são modestos e compatíveis com uma bomba com a designação sugerida (INI 50-200 frequentemente opera na faixa de dezenas de metros e vazões dessa ordem).

Passo 6

Avaliar a cavitação calculando o NPSH disponível (NPSHa) e comparando com um NPSHr típico; explicar o conceito e as suposições.
Breve aula: NPSHa (Net Positive Suction Head available) é a “cabeça” absoluta disponível na sucção, medida em metros, acima da pressão de vapor do líquido; se for menor que o NPSHr (requerido pela bomba), ocorre cavitação. Fórmula usada (Bernoulli entre superfície livre do reservatório e o olho da bomba):
\text{NPSHa}=\dfrac{p_{atm}}{\rho g}+z_{\text{res}}-h_{fs}-\dfrac{p_{v}}{\rho g}
onde z_{\text{res}} é a cota da superfície livre em relação ao centro da bomba (aqui, como a bomba está 6 m acima da superfície, z_{\text{res}}=-6\\ \mathrm{m} se tomássemos a bomba como referência; na forma que usei antes, com z_{\text{res}}=0 e subtraindo z_{pump}=6\\ \mathrm{m}, o resultado é o mesmo).
Cálculos (sem considerar a cabeça cinética no olho da bomba v^{2}/2g pois não foi informado o diâmetro da tubulação; essa omissão tende a tornar a NPSHa um pouco otimista — na prática incluir v^{2}/2g diminui a NPSHa e é conservador verificar com ela se possível):
  • Calcular \dfrac{p_{atm}}{\rho g}:
\dfrac{1{,}013\times10^{5}}{1000\cdot9{,}81}=\dfrac{101300}{9810}\approx10{,}3275\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \dfrac{p_{v}}{\rho g}:
\dfrac{872}{1000\cdot9{,}81}=\dfrac{872}{9810}\approx0{,}0889\\ \mathrm{m}.
  • Já calculamos a perda de carga na sucção: h_{fs}=0{,}8910\\ \mathrm{m}.
  • A bomba está 6\\ \mathrm{m} acima da superfície do reservatório, então subtrai-se 6\\ \mathrm{m}.
Portanto:
\text{NPSHa}=10{,}3275 - 6 - 0{,}8910 - 0{,}0889 \approx3{,}3476\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
\text{NPSHa}\approx3{,}35\\ \mathrm{m}.
Interpretação e comparação com NPSHr:
  • Não tenho a curva ou o catálogo detalhado da bomba INI 50-200 aqui; portanto não sei com absoluta certeza o valor de NPSHr na vazão 45\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Valores típicos de NPSHr para bombas centrífugas desse porte costumam ficar na faixa de 2 a 4\\ \mathrm{m}, dependendo do projeto e da vazão relativa. Se o catálogo da INI 50-200 indicar algo como \text{NPSHr}\approx3{,}0\\ \mathrm{m} à nossa vazão, então:
\text{NPSHa (3{,}35 m)}>\text{NPSHr (3{,}0 m)}\Rightarrow \text{sem cavitação, porém margem pequena }(\approx0{,}35\\ \mathrm{m}).çãé
  • Se o catálogo mostrar \text{NPSHr}>3{,}35\\ \mathrm{m}, então haveria risco de cavitação e seria necessário:
    • baixar a elevação da bomba (colocá-la mais próxima do reservatório), ou
    • aumentar o diâmetro da sucção (reduzindo perdas e v^2/2g), ou
    • escolher uma bomba com menor NPSHr, ou
    • instalar sistema de pressurização na sucção, etc.
Conclusão prática: com os dados disponíveis calculei \text{NPSHa}\approx3{,}35\\ \mathrm{m}. Isso normalmente é suficiente se a bomba INI 50-200 tiver \text{NPSHr}\lesssim3{,}0\\ \mathrm{m}. Recomendo verificar o catálogo da bomba e confirmar o NPSHr na vazão de operação; a margem é pequena, então atenção.

Resposta

a) H_{m}\approx18{,}39\\ \mathrm{m}.\n
b) Sugerida: bomba INI 50-200 a 1750\\ \mathrm{rpm}. Potência hidráulica necessária P_{\text{hid}}\approx2{,}26\\ \mathrm{kW}; potência do eixo estimada P_{\text{eixo}}\approx3{,}47\\ \mathrm{kW} (assumindo \eta\approx65\%); recomendar motor comercial de 4{,}0\\ \mathrm{kW} a 1750\\ \mathrm{rpm}.\n
c) \text{NPSHa}\approx3{,}35\\ \mathrm{m}. Comparando com um \text{NPSHr} típico da INI 50-200 ( \approx3{,}0\\ \mathrm{m} à nossa vazão) não haveria cavitação, mas a margem é pequena ( \approx0{,}35\\ \mathrm{m}); recomenda-se confirmar o \text{NPSHr} no catálogo da bomba e, se necessário, reduzir perdas de sucção ou baixar a bomba.

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