61* - Seja um corpo de massa 10 kg dirigindo-se com velocidade
contra uma mola de constante elástica
, numa situação semelhante à da Figura 4.39. Após atingir a placa vertical, a mola vai se comprimindo até o corpo parar. Considere que, neste instante, um dispositivo qualquer (não especificado na figura) mantenha o corpo parado (o movimento termina aí). Calcular a distância percorrida pelo corpo. Primeiro, considerando que não haja atrito entre as superfícies. Depois, que haja um atrito cinético de coeficiente 0,10 na região limitada pela mola.
Passo 1
Vou listar explicitamente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo isso é extraído do enunciado que você me mandou).
-
O que se pede:
- Calcular a distância percorrida pelo corpo quando não há atrito entre as superfícies.
- Calcular a distância percorrida pelo corpo quando existe atrito cinético com coeficiente
na região limitada pela mola.
-
Dados fornecidos:
- massa do corpo:
. - velocidade inicial do corpo:
. - constante elástica da mola:
. - coeficiente de atrito cinético (caso 2):
. - aceleração da gravidade (usar):
. - Observação geométrica do enunciado: o corpo atinge a placa que está ligada à mola e, a partir do ponto de contato, a mola vai comprimindo até o corpo parar. A distância que o corpo percorre enquanto a mola é comprimida é a incógnita que chamaremos de
.
- massa do corpo:
Passo 2
Entender fisicamente o que acontece (sem calcular ainda): quando não há atrito, a energia cinética inicial do corpo é transformada na energia potencial elástica da mola até o corpo parar. Quando há atrito, parte da energia cinética também é dissipada pelo trabalho do atrito além da energia armazenada na mola.
Antes de mexer em fórmulas, vamos explicar os conceitos que vamos usar:
- Energia cinética: a energia associada ao movimento de uma massa
com velocidade é dada por
onde
é a massa em quilogramas e
a velocidade em metros por segundo.
- Energia potencial elástica de uma mola: uma mola com constante
comprimida (ou esticada) de uma distância armazena energia
onde
é em
e
em metros.
- Trabalho da força de atrito cinético: uma força de atrito constante
realiza trabalho negativo ao longo do deslocamento . Para superfícies horizontais , então o trabalho do atrito ao deslizar uma distância é
O sinal negativo indica que essa força retira energia do sistema (dissipação).
- Conservação de energia / teorema do trabalho e energia: se as únicas forças que trocam energia são conservativas (mola) e forças dissipativas (atrito), a equação de energia entre o instante inicial (velocidade
) e o instante final (parado) é
Passo 3
Caso 1 — sem atrito: escrever a equação energética e resolver para
.
- Montando a igualdade de energias (toda a energia cinética vira energia da mola):
- Simplificar a expressão para isolar
. Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por
:
Tirando raiz positiva (distância positiva):
Passo 4
Caso 1 — cálculo numérico passo a passo (substituir os números e calcular sem pular contas):
- Colocar os valores:
, , .
Calcular a fração dentro da raiz:
Raiz quadrada de
é
. Portanto
Passo 5
Caso 2 — com atrito (
): montar a equação de energia que inclui o trabalho do atrito.
- Energia cinética inicial é consumida pela mola e pelo atrito:
Explicação da equação: o segundo termo do lado direito é a energia armazenada na mola; o terceiro termo é o valor absoluto do trabalho realizado pelo atrito (positivado na soma porque estamos transferindo energia para dissipação). Note que o trabalho do atrito tem sinal negativo quando escrito como trabalho, por isso aqui aparece adicionado como termo positivo que subtrai da energia cinética disponível.
Passo 6
Resolver a equação do caso 2 simbolicamente até obter uma forma resolvível (é uma quadrática em
).
- Multiplicar tudo por
para eliminar metades:
- Colocar na forma padrão
:
Aqui
,
,
.
- A solução positiva para
(raiz da quadrática) é dada pela fórmula de Bhaskara:
Como
é negativo,
vira uma soma apropriada; vamos calcular com os números.
Passo 7
Caso 2 — cálculo numérico passo a passo.
-
Primeiro calcule os coeficientes numéricos:
-
. -
.
Calcular:. Então . -
.
-
-
Calcular o discriminante
: Primeiro.
Em seguida.
Então -
Raiz do discriminante:(confirme mentalmente:
, , então é coerente.) -
Aplicar a fórmula:Dividindo:
-
Arredondando a um número prático de algarismos significativos (dois decimais, coerente com os dados):
Passo 8
Interpretação final e comparação rápida (ajuda a fixar na prova):
- Sem atrito:
. - Com atrito
: . - Observação física: a presença do atrito faz com que parte da energia cinética seja dissipada como calor, sobrando menos energia para comprimir a mola; por isso a compressão máxima é menor quando existe atrito.