61* - Seja um corpo de massa 10 kg dirigindo-se com velocidade 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} contra uma mola de constante elástica 40 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, numa situação semelhante à da Figura 4.39. Após atingir a placa vertical, a mola vai se comprimindo até o corpo parar. Considere que, neste instante, um dispositivo qualquer (não especificado na figura) mantenha o corpo parado (o movimento termina aí). Calcular a distância percorrida pelo corpo. Primeiro, considerando que não haja atrito entre as superfícies. Depois, que haja um atrito cinético de coeficiente 0,10 na região limitada pela mola.

Passo 1

Vou listar explicitamente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo isso é extraído do enunciado que você me mandou).
  • O que se pede:
    1. Calcular a distância percorrida pelo corpo quando não há atrito entre as superfícies.
    2. Calcular a distância percorrida pelo corpo quando existe atrito cinético com coeficiente \mu_k=0,10 na região limitada pela mola.
  • Dados fornecidos:
    • massa do corpo: m=10\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade inicial do corpo: v=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • constante elástica da mola: k=40\\ \mathrm{N/m}.
    • coeficiente de atrito cinético (caso 2): \mu_k=0{,}10.
    • aceleração da gravidade (usar): g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Observação geométrica do enunciado: o corpo atinge a placa que está ligada à mola e, a partir do ponto de contato, a mola vai comprimindo até o corpo parar. A distância que o corpo percorre enquanto a mola é comprimida é a incógnita que chamaremos de x.

Passo 2

Entender fisicamente o que acontece (sem calcular ainda): quando não há atrito, a energia cinética inicial do corpo é transformada na energia potencial elástica da mola até o corpo parar. Quando há atrito, parte da energia cinética também é dissipada pelo trabalho do atrito além da energia armazenada na mola.
Antes de mexer em fórmulas, vamos explicar os conceitos que vamos usar:
  • Energia cinética: a energia associada ao movimento de uma massa m com velocidade v é dada por
E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa em quilogramas e v a velocidade em metros por segundo.
  • Energia potencial elástica de uma mola: uma mola com constante k comprimida (ou esticada) de uma distância x armazena energia
E_{\text{mol}}=\tfrac{1}{2} k x^{2},
onde k é em \mathrm{N/m} e x em metros.
  • Trabalho da força de atrito cinético: uma força de atrito constante \,F_{\text{at}}=\mu_k N\, realiza trabalho negativo ao longo do deslocamento x. Para superfícies horizontais N=mg, então o trabalho do atrito ao deslizar uma distância x é
W_{\text{at}}=-\mu_k m g x.
O sinal negativo indica que essa força retira energia do sistema (dissipação).
  • Conservação de energia / teorema do trabalho e energia: se as únicas forças que trocam energia são conservativas (mola) e forças dissipativas (atrito), a equação de energia entre o instante inicial (velocidade v) e o instante final (parado) é
\tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} k x^{2} + \text{(energia dissipada pelos não conservativos)}.ã

Passo 3

Caso 1 — sem atrito: escrever a equação energética e resolver para x.
  • Montando a igualdade de energias (toda a energia cinética vira energia da mola):
\tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} k x^{2}.
  • Simplificar a expressão para isolar x. Multiplicando ambos os lados por 2:
m v^{2} = k x^{2}.
Dividindo por k:
x^{2} = \dfrac{m}{k}\, v^{2}.
Tirando raiz positiva (distância positiva):
x = v\sqrt{\dfrac{m}{k}}.

Passo 4

Caso 1 — cálculo numérico passo a passo (substituir os números e calcular sem pular contas):
  • Colocar os valores: m=10, k=40, v=5{,}0.
x = 5{,}0\cdot\sqrt{\dfrac{10}{40}}.
Calcular a fração dentro da raiz:
\dfrac{10}{40}=0{,}25.
Raiz quadrada de 0{,}25 é 0{,}5. Portanto
x = 5{,}0\cdot 0{,}5 = 2{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Caso 2 — com atrito ( \mu_k=0{,}10): montar a equação de energia que inclui o trabalho do atrito.
  • Energia cinética inicial é consumida pela mola e pelo atrito:
\tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} k x^{2} + \mu_k m g x.
Explicação da equação: o segundo termo do lado direito é a energia armazenada na mola; o terceiro termo é o valor absoluto do trabalho realizado pelo atrito (positivado na soma porque estamos transferindo energia para dissipação). Note que o trabalho do atrito tem sinal negativo quando escrito como trabalho, por isso aqui aparece adicionado como termo positivo que subtrai da energia cinética disponível.

Passo 6

Resolver a equação do caso 2 simbolicamente até obter uma forma resolvível (é uma quadrática em x).
  • Multiplicar tudo por 2 para eliminar metades:
m v^{2} = k x^{2} + 2\mu_k m g x.
  • Colocar na forma padrão a x^{2} + b x + c = 0:
k x^{2} + 2\mu_k m g\, x - m v^{2} = 0.
Aqui a=k, b=2\mu_k m g, c=-m v^{2}.
  • A solução positiva para x (raiz da quadrática) é dada pela fórmula de Bhaskara:
x = \dfrac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Como c é negativo, b^{2}-4ac vira uma soma apropriada; vamos calcular com os números.

Passo 7

Caso 2 — cálculo numérico passo a passo.
  • Primeiro calcule os coeficientes numéricos:
    • a = k = 40.
    • b = 2\mu_k m g = 2\cdot 0{,}10\cdot 10\cdot 9{,}8.
      Calcular: 0{,}10\cdot 10 =1. Então b = 2\cdot 1\cdot 9{,}8 = 19{,}6.
    • c = - m v^{2} = -10\cdot(5{,}0)^{2} = -10\cdot 25 = -250.
  • Calcular o discriminante \Delta = b^{2}-4ac:
    \Delta = 19{,}6^{2} - 4\cdot 40\cdot(-250).
    Primeiro 19{,}6^{2}=384{,}16.
    Em seguida -4\cdot 40\cdot(-250)=+4\cdot 40\cdot 250 = 4\cdot 10000 = 40000.
    Então
    \Delta = 384{,}16 + 40000 = 40384{,}16.
  • Raiz do discriminante:
    \sqrt{\Delta} = \sqrt{40384{,}16}\approx 200{,}96.
    (confirme mentalmente: 200^{2}=40000, 201^{2}=40401, então 200{,}96 é coerente.)
  • Aplicar a fórmula:
    x = \dfrac{-19{,}6 + 200{,}96}{2\cdot 40} = \dfrac{181{,}36}{80}.
    Dividindo:
    x \approx 2{,}267\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando a um número prático de algarismos significativos (dois decimais, coerente com os dados):
    x \approx 2{,}27\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação final e comparação rápida (ajuda a fixar na prova):
  • Sem atrito: x=2{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Com atrito \mu_k=0{,}10: x\approx 2{,}27\\ \mathrm{m}.
  • Observação física: a presença do atrito faz com que parte da energia cinética seja dissipada como calor, sobrando menos energia para comprimir a mola; por isso a compressão máxima é menor quando existe atrito.

Resposta

2,5\\ \mathrm{m}
2,27\\ \mathrm{m}

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