Um oscilador amortecido possui uma amplitude inicial de
. Após 20 ciclos, sua amplitude reduz-se a
. Se o período é
, obtenha o coeficiente de amortecimento.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
-
Dados fornecidos:
- Amplitude inicial:
. - Amplitude após
ciclos: . - Período do movimento:
. - Número de ciclos até a medida:
.
- Amplitude inicial:
-
O que o enunciado pede:
- Obter o coeficiente de amortecimento (o coeficiente de decaimento exponencial da amplitude), geralmente denotado por
e com unidade .
- Obter o coeficiente de amortecimento (o coeficiente de decaimento exponencial da amplitude), geralmente denotado por
Passo 2
Entendendo a fórmula física que liga amplitude e amortecimento (aulinha compacta).
- Para um oscilador amortecido subamortecido, a amplitude da oscilação decai exponencialmente com o tempo segundo a lei
onde:
-
é a amplitude no instante , -
é a amplitude inicial (no tempo ), -
é o coeficiente de amortecimento (também escrito às vezes como ); ele mede a rapidez com que a amplitude decai, com unidades de . -
Essa expressão vem da solução da equação diferencial linear do oscilador amortecido:
cuja envoltória da amplitude é exatamente
. Não precisa memorizar a derivação agora, o importante é lembrar que amplitude decai exponencialmente com constante
.
Passo 3
Relacionando a fórmula aos dados do enunciado.
- A amplitude após
ciclos corresponde ao tempo
No nosso caso:
- Aplicando a lei da decaída para
:
Isolando
,
Essa é a fórmula prática que vamos usar.
Passo 4
Substituindo os números e calculando passo a passo.
- Primeiro calcule o intervalo de tempo:
- A razão entre amplitudes (note que as unidades cancelam; ambas estão em
):
- Para facilitar o logaritmo, uso a identidade
. Valores aproximados:
Portanto
Passo 5
Calcular
e interpretar o resultado.
- Usando a fórmula
- Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados fornecidos
e ):
- Observação útil: o decremento logarítmico por ciclo (quantidade frequentemente usada em laboratório) é
ou seja, a amplitude reduz por um fator
a cada ciclo.
- Interpretação física curta e encorajamento:
é bem pequeno ( ), então o amortecimento é fraco — a amplitude demora alguns segundos para cair significativamente. Vai dar tudo certo na sua prova; a ideia chave é memorizar e como isolar a partir de medidas em tempos conhecidos.