Um oscilador amortecido possui uma amplitude inicial de 6,0 \mathrm{~cm}. Após 20 ciclos, sua amplitude reduz-se a 3,1 \mathrm{~cm}. Se o período é 0,25 \mathrm{~s}, obtenha o coeficiente de amortecimento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Amplitude inicial: A_0 = 6{,}0\\ \mathrm{cm}.
    • Amplitude após 20 ciclos: A_{20} = 3{,}1\\ \mathrm{cm}.
    • Período do movimento: T = 0{,}25\\ \mathrm{s}.
    • Número de ciclos até a medida: n = 20.
  • O que o enunciado pede:
    • Obter o coeficiente de amortecimento (o coeficiente de decaimento exponencial da amplitude), geralmente denotado por \gamma e com unidade \mathrm{s}^{-1}.

Passo 2

Entendendo a fórmula física que liga amplitude e amortecimento (aulinha compacta).
  • Para um oscilador amortecido subamortecido, a amplitude da oscilação decai exponencialmente com o tempo segundo a lei
A(t)=A_0\,e^{-\gamma t},
onde:
  • A(t) é a amplitude no instante t,
  • A_0 é a amplitude inicial (no tempo t=0),
  • \gamma é o coeficiente de amortecimento (também escrito às vezes como b/(2m)); ele mede a rapidez com que a amplitude decai, com unidades de \mathrm{s}^{-1}.
  • Essa expressão vem da solução da equação diferencial linear do oscilador amortecido:
\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2 x=0,
cuja envoltória da amplitude é exatamente e^{-\gamma t}. Não precisa memorizar a derivação agora, o importante é lembrar que amplitude decai exponencialmente com constante \gamma.

Passo 3

Relacionando a fórmula aos dados do enunciado.
  • A amplitude após n ciclos corresponde ao tempo
t = nT.
No nosso caso:
t = nT = 20 \times 0{,}25\\ \mathrm{s} = 5{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Aplicando a lei da decaída para t=nT:
A_{20}=A_0\,e^{-\gamma nT}.
Isolando \gamma,
\gamma=\frac{1}{nT}\ln\!\left(\frac{A_0}{A_{20}}\right).
Essa é a fórmula prática que vamos usar.

Passo 4

Substituindo os números e calculando passo a passo.
  • Primeiro calcule o intervalo de tempo:
nT = 20 \times 0{,}25 = 5{,}0\\ \mathrm{s}.
  • A razão entre amplitudes (note que as unidades cancelam; ambas estão em \mathrm{cm}):
\frac{A_0}{A_{20}}=\frac{6{,}0}{3{,}1}.
  • Para facilitar o logaritmo, uso a identidade \ln(a/b)=\ln a-\ln b. Valores aproximados:
\ln(6{,}0)\approx 1{,}791759469,\qquad \ln(3{,}1)\approx 1{,}131402111.
Portanto
\ln\!\left(\frac{6{,}0}{3{,}1}\right)=\ln(6{,}0)-\ln(3{,}1)\approx 1{,}791759469-1{,}131402111=0{,}660357358.

Passo 5

Calcular \gamma e interpretar o resultado.
  • Usando a fórmula
\gamma=\frac{1}{nT}\ln\!\left(\frac{A_0}{A_{20}}\right)=\frac{1}{5{,}0}\times 0{,}660357358\approx 0{,}1320714716\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados fornecidos 6{,}0 e 3{,}1):
\gamma \approx 0{,}132\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Observação útil: o decremento logarítmico por ciclo (quantidade frequentemente usada em laboratório) é
\delta=\gamma T \approx 0{,}13207147\times 0{,}25 \approx 0{,}03302,
ou seja, a amplitude reduz por um fator e^{-0{,}03302} a cada ciclo.
  • Interpretação física curta e encorajamento: \gamma é bem pequeno ( \sim0{,}13\\ \mathrm{s}^{-1}), então o amortecimento é fraco — a amplitude demora alguns segundos para cair significativamente. Vai dar tudo certo na sua prova; a ideia chave é memorizar A(t)=A_0 e^{-\gamma t} e como isolar \gamma a partir de medidas em tempos conhecidos.

Resposta

0{,}132\\ \mathrm{s}^{-1}

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