Questão 3 ( 2 pontos) Suponha que, depois de percorrer uma distância
sobre o plano, a força horizontal deixe de atuar. Calcule a velocidade da massa ao passar pela posição inicial usando o teorema trabalho energia cinética e, posteriormante, a conservação da energia mecânica.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (exatamente como está escrito):
- Foi dada uma distância
que a massa percorre sobre o plano enquanto uma força horizontal atua. - Depois de percorrer essa distância, a força horizontal deixa de atuar.
- Pede-se: calcular a velocidade da massa ao passar pela posição inicial usando (a) o teorema trabalho–energia cinética e (b) a conservação da energia mecânica.
Informações importantes que o enunciado não fornece (e que são necessárias para um valor numérico):
- o valor da massa (vou chamar de
); - a intensidade da força horizontal (vou chamar de
); - a velocidade inicial quando a força começa a atuar (vou chamar de
); - se há atrito entre a massa e o plano (coeficiente de atrito cinético
) ou não; - a geometria do plano (se é horizontal ou inclinado — ou seja, se há variação de altura entre os pontos).
Como esses dados não foram fornecidos, não é possível calcular um valor numérico final. Vou, então, resolver o problema de forma simbólica e didática, mostrando passo a passo como obter a velocidade final em função das quantidades necessárias. Quando você tiver (por exemplo)
,
e
— ou se confirmar que
e que o deslocamento ocorre à mesma altura — basta substituir e obter o número.
Passo 2
Definições de variáveis e hipóteses claras (para não nos perder):
-
= massa do objeto (em kg). -
= intensidade da força horizontal constante aplicada enquanto o corpo percorre . -
= deslocamento ao longo do qual a força atua. -
= velocidade do corpo no instante em que a força começa a atuar (velocidade inicial para o trecho de comprimento ). -
= velocidade do corpo ao passar pela posição inicial (o objetivo). - Vou inicialmente assumir que não há outras forças não conservativas fazendo trabalho (ou seja, sem atrito). Mais adiante explico como incluir atrito se existir.
- Ao dizer “passar pela posição inicial” vou usar a hipótese prática usual: o ponto final onde se quer
tem a mesma altura potencial gravitacional da posição inicial (portanto entre esses dois pontos). Se houver diferença de altura, essa diferença deve entrar nas contas como variação de energia potencial.
Passo 3
Enunciado do teorema (em linguagem acessível): o trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre uma partícula, ao longo de um deslocamento, é igual à variação da energia cinética da partícula.
Em fórmula:
Onde a energia cinética é
isto é,
e
.
Explicando o que é trabalho (de forma prática): se uma força constante
age na mesma direção do deslocamento
, o trabalho dessa força é
. Se a força tem direção oposta, o trabalho é negativo. Sempre atente ao sinal (direção da força vs. direção do deslocamento).
Passo 4
- Identificar os trabalhos que atuam durante o deslocamento de comprimento
. Na hipótese sem atrito e assumindo que a componente da gravidade não faz trabalho efetivo entre os pontos (mesma altura), o único trabalho não nulo é o da força horizontal :
- Escrever o teorema:
- Isolar
. Primeiro reorganizando:
- Multiplicando por
:
- Tomando raiz positiva (velocidade escalar, assumimos sentido positivo):
- Substituindo
explicitamente:
Comentário prático: se
(começa do repouso), então
. Se existir atrito com trabalho
, ele se soma (algebricamente) ao
como trabalho total:
, e o procedimento é idêntico.
Passo 5
A conservação da energia mecânica, na presença de forças não-conservativas, é geralmente escrita como:
onde
é o trabalho das forças não-conservativas (por exemplo, a força horizontal aplicada é tipicamente não-conservativa).
Aqui
(energia cinética + potencial). Se os pontos inicial e final têm a mesma altura, então
, e a equação reduz-se a:
Tomando
(hipótese sem atrito), obtemos exatamente a mesma equação do teorema trabalho–energia:
e daí, seguindo os mesmos passos,
Explicação didática: usar conservação de energia mecânica com um termo de trabalho não-conservativo é uma forma elegante de incorporar forças externas. Quando não há forças não-conservativas,
e a energia mecânica pura se conserva; quando há, a energia mecânica varia exatamente pelo trabalho dessas forças.
Passo 6
- Para obter um número específico para
é preciso fornecer valores numéricos para , e (ou informar que , por exemplo) e confirmar ausência de atrito e de mudança de altura. - Se houver atrito cinético com coeficiente
e o deslocamento for sobre uma superfície plana horizontal, o trabalho da força de atrito é e a fórmula generalizada ficaria
- Se a superfície for inclinada, é preciso incluir a variação de energia potencial
entre os pontos.