Questão 3 ( 2 pontos) Suponha que, depois de percorrer uma distância s= 3 m sobre o plano, a força horizontal deixe de atuar. Calcule a velocidade da massa ao passar pela posição inicial usando o teorema trabalho energia cinética e, posteriormante, a conservação da energia mecânica.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (exatamente como está escrito):
  • Foi dada uma distância \,s=3\\ \text{m}\, que a massa percorre sobre o plano enquanto uma força horizontal atua.
  • Depois de percorrer essa distância, a força horizontal deixa de atuar.
  • Pede-se: calcular a velocidade da massa ao passar pela posição inicial usando (a) o teorema trabalho–energia cinética e (b) a conservação da energia mecânica.
Informações importantes que o enunciado não fornece (e que são necessárias para um valor numérico):
  • o valor da massa (vou chamar de \,m);
  • a intensidade da força horizontal (vou chamar de \,F);
  • a velocidade inicial quando a força começa a atuar (vou chamar de \,v_0);
  • se há atrito entre a massa e o plano (coeficiente de atrito cinético \mu_k) ou não;
  • a geometria do plano (se é horizontal ou inclinado — ou seja, se há variação de altura entre os pontos).
Como esses dados não foram fornecidos, não é possível calcular um valor numérico final. Vou, então, resolver o problema de forma simbólica e didática, mostrando passo a passo como obter a velocidade final em função das quantidades necessárias. Quando você tiver (por exemplo) \,m, \,F e \,v_0 — ou se confirmar que \mu_k=0 e que o deslocamento ocorre à mesma altura — basta substituir e obter o número.

Passo 2

Definições de variáveis e hipóteses claras (para não nos perder):
  • m = massa do objeto (em kg).
  • F = intensidade da força horizontal constante aplicada enquanto o corpo percorre \,s=3\\ \text{m}.
  • s=3\\ \text{m} = deslocamento ao longo do qual a força atua.
  • v_0 = velocidade do corpo no instante em que a força começa a atuar (velocidade inicial para o trecho de comprimento s).
  • v = velocidade do corpo ao passar pela posição inicial (o objetivo).
  • Vou inicialmente assumir que não há outras forças não conservativas fazendo trabalho (ou seja, sem atrito). Mais adiante explico como incluir atrito se existir.
  • Ao dizer “passar pela posição inicial” vou usar a hipótese prática usual: o ponto final onde se quer v tem a mesma altura potencial gravitacional da posição inicial (portanto \Delta U=0 entre esses dois pontos). Se houver diferença de altura, essa diferença deve entrar nas contas como variação de energia potencial.

Passo 3

Enunciado do teorema (em linguagem acessível): o trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre uma partícula, ao longo de um deslocamento, é igual à variação da energia cinética da partícula.
Em fórmula:
\sum W = \Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Onde a energia cinética é
K=\tfrac{1}{2} m v^2,
isto é, K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m v_0^2 e K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2} m v^2.
Explicando o que é trabalho (de forma prática): se uma força constante F age na mesma direção do deslocamento s, o trabalho dessa força é W=F s. Se a força tem direção oposta, o trabalho é negativo. Sempre atente ao sinal (direção da força vs. direção do deslocamento).

Passo 4

  1. Identificar os trabalhos que atuam durante o deslocamento de comprimento s. Na hipótese sem atrito e assumindo que a componente da gravidade não faz trabalho efetivo entre os pontos (mesma altura), o único trabalho não nulo é o da força horizontal F:
W_F = F s.
  1. Escrever o teorema:
W_F = \tfrac{1}{2} m v^2 - \tfrac{1}{2} m v_0^2.
  1. Isolar v. Primeiro reorganizando:
\tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2} m v_0^2 + F s.
  1. Multiplicando por 2/m:
v^2 = v_0^2 + \dfrac{2 F s}{m}.
  1. Tomando raiz positiva (velocidade escalar, assumimos sentido positivo):
v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2 F s}{m}}.
  1. Substituindo s=3\\ \text{m} explicitamente:
v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{6 F}{m}}.
Comentário prático: se v_0=0 (começa do repouso), então v=\sqrt{\dfrac{6F}{m}}. Se existir atrito com trabalho W_{\text{fr}}<0, ele se soma (algebricamente) ao F s como trabalho total: W_{\text{total}}=F s + W_{\text{fr}}, e o procedimento é idêntico.

Passo 5

A conservação da energia mecânica, na presença de forças não-conservativas, é geralmente escrita como:
E_{\text{mec, final}} = E_{\text{mec, inicial}} + W_{\text{nc}},
onde W_{\text{nc}} é o trabalho das forças não-conservativas (por exemplo, a força horizontal aplicada é tipicamente não-conservativa).
Aqui E_{\text{mec}} = K + U (energia cinética + potencial). Se os pontos inicial e final têm a mesma altura, então \Delta U = 0, e a equação reduz-se a:
K_{\text{final}} = K_{\text{inicial}} + W_{\text{nc}}.
Tomando W_{\text{nc}} = W_F = F s (hipótese sem atrito), obtemos exatamente a mesma equação do teorema trabalho–energia:
\tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2} m v_0^2 + F s,
e daí, seguindo os mesmos passos,
v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2 F s}{m}} = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{6 F}{m}}.
Explicação didática: usar conservação de energia mecânica com um termo de trabalho não-conservativo é uma forma elegante de incorporar forças externas. Quando não há forças não-conservativas, W_{\text{nc}}=0 e a energia mecânica pura se conserva; quando há, a energia mecânica varia exatamente pelo trabalho dessas forças.

Passo 6

  • Para obter um número específico para v é preciso fornecer valores numéricos para m, F e v_0 (ou informar que v_0=0, por exemplo) e confirmar ausência de atrito e de mudança de altura.
  • Se houver atrito cinético com coeficiente \mu_k e o deslocamento for sobre uma superfície plana horizontal, o trabalho da força de atrito é W_{\text{fr}}=-\mu_k m g s e a fórmula generalizada ficaria
v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2(F s + W_{\text{fr}})}{m}} = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2(F s - \mu_k m g s)}{m}}.
  • Se a superfície for inclinada, é preciso incluir a variação de energia potencial \Delta U = m g \Delta h entre os pontos.

Resposta

v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2 F s}{m}} = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{6F}{m}} (usando trabalho–energia)
v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2 W_{\text{nc}}}{m}} = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{6F}{m}} (usando conservação da energia mecânica, com W_{\text{nc}}=F s e s=3\\ \text{m})

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