(Pucrj) Na Astronomia, o Ano-luz é definido como a distância percorrida pela luz no vácuo em um ano. Já o nanômetro, igual a 1,0 \times 10^{-9} \mathrm{~m}, é utilizado para medir distâncias entre objetos na Nanotecnologia.
Considerando que a velocidade da luz no vácuo é igual a 3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e que um ano possui 365 dias ou 3,2 \times 10^{7} \mathrm{~s}, podemos dizer que um Ano-luz em nanômetros é igual a:
a) 9,6 \times 10^{24}
b) 9,6 \times 10^{15}
c) 9,6 \times 10^{12}
d) 9,6 \times 10^{6}
e) 9,6 \times 10^{-9}

Passo 1

O que o problema pede e quais informações são dadas.
  • Pede: “um Ano-luz em nanômetros” — ou seja, a distância que a luz percorre em um ano, expressa em nanômetros.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade da luz: c = 3,0 \times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • duração do ano: t = 3,2 \times 10^{7}\\ \mathrm{s}.
    • definição do nanômetro: 1{,}0 \times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 1\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Formula básica para a distância percorrida pela luz e o que cada símbolo significa.
  • A fórmula para distância em movimento uniforme é:
d = v \cdot t
onde:
  • d é a distância (em metros, se v estiver em \mathrm{m/s} e t em \mathrm{s});
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s});
  • t é o tempo (s).
Aqui vamos usar v = c e o t do ano dado, para obter a distância em metros.

Passo 3

Calcular a distância em metros usando notação científica e explicando a regra de multiplicação.
  • Multiplicação de números em notação científica: se \,A = a\times10^{m} e \,B = b\times10^{n}, então
A\cdot B = (a\cdot b)\times10^{m+n}.
  • Aplicando a fórmula:
d_{\mathrm{m}} = c\cdot t = \left(3,0\times10^{8}\right)\left(3,2\times10^{7}\right).
  • Multiplicando as mantissas e somando os expoentes:
    • mantissas: 3,0\cdot3,2 = 9,6,
    • expoentes: 10^{8}\cdot10^{7}=10^{8+7}=10^{15}.
  • Logo:
d_{\mathrm{m}} = 9,6\times10^{15}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Converter metros para nanômetros (explicar a relação entre unidades).
  • Sabendo que 1\\ \mathrm{nm} = 1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m}, então:
1\\ \mathrm{m} = \frac{1}{1{,}0\times10^{-9}}\\ \mathrm{nm}=10^{9}\\ \mathrm{nm}.
  • Para converter uma distância em metros para nanômetros, multiplica-se por 10^{9}:
d_{\mathrm{nm}} = d_{\mathrm{m}}\times10^{9}.

Passo 5

Aplicar a conversão ao resultado e obter o Ano-luz em nanômetros.
  • Substituindo d_{\mathrm{m}} = 9,6\times10^{15}\\ \mathrm{m}:
d_{\mathrm{nm}} = \left(9,6\times10^{15}\right)\times10^{9} = 9,6\times10^{24}\\ \mathrm{nm}.
  • Observação sobre algarismos significativos: os dados iniciais têm duas casas em cada mantissa ( 3,0 e 3,2), então expressar o resultado como 9,6\times10^{24} mantém coerência.

Passo 6

Escolher a alternativa correta entre as oferecidas.
  • A alternativa que corresponde a 9,6\times10^{24} é a letra (a).

Resposta

a) 9,6 \times 10^{24}

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