Uma engrenagem reta de 39 dentes está acoplada a um pinhão de 18 dentes. O pd =8 e ângulo de contato =25^{\circ}. Encontre a razão de contato.

Passo 1

O enunciado dá duas engrenagens involutas em contato simples: um pinhão de Z_1=18 dentes e uma coroa de Z_2=39 dentes, com passo diametral \mathrm{pd}=8 e ângulo de pressão \varphi=25^\circ. Pede-se a razão de contato, que é
– o comprimento de contato entre os perfis dividido pelo passo circular.
Vamos usar a fórmula
m = \frac{L}{p}
onde L é o comprimento de contato e p=\pi/\mathrm{pd} é o passo circular.

Passo 2

Calculamos primeiro os diâmetros primitivos, raios primitivos e raio de base de cada roda, além do addendo.
d_1 = \frac{Z_1}{\mathrm{pd}} = \frac{18}{8} = 2,25,\qquad d_2 = \frac{Z_2}{\mathrm{pd}} = \frac{39}{8} = 4,875
r_1 = \frac{d_1}{2} = 1,125,\qquad r_2 = \frac{d_2}{2} = 2,4375,\qquad a = \frac{1}{\mathrm{pd}} = 0,125
Raio de base de cada roda:
r_{b1} = r_1\cos\varphi = 1,125\cos25^\circ \approx 1,019,\quad r_{b2} = r_2\cos25^\circ \approx 2,209
Raio de capa (raio até o topo dos dentes):
r_{a1} = r_1 + a = 1,125 + 0,125 = 1,25,\quad r_{a2} = r_2 + 0,125 = 2,5625

Passo 3

Comprimento de contato no trecho de aproximação (pinhão) e de recessão (coroa):
\ell_1 = \sqrt{r_{a1}^2 - r_{b1}^2} = \sqrt{1,25^2 - 1,019^2} \approx 0,724
\ell_2 = \sqrt{r_{a2}^2 - r_{b2}^2} = \sqrt{2,5625^2 - 2,209^2} \approx 1,299

Passo 4

Distância entre centros e comprimento total de contato L:
C = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{2,25 + 4,875}{2} = 3,5625
L = \ell_1 + \ell_2 - C\sin\varphi = 0,724 + 1,299 - 3,5625\sin25^\circ \approx 2,023 - 1,504 = 0,519
O passo circular é
p = \frac{\pi}{\mathrm{pd}} = \frac{\pi}{8} \approx 0,3927

Passo 5

Finalmente a razão de contato é
m = \frac{L}{p} = \frac{0,519}{0,3927} \approx 1,32

Resposta

A razão de contato vale aproximadamente 1,32.

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