9.39 Uma solução de hexano e heptano a 30^{\circ} \mathrm{C} com fração molar de hexano igual a 0,305 , tem uma pressão de vapor de 95,0 torr e uma fração molar de hexano na fase vapor de 0,555 . Determine as pressões de vapor do hexano e heptano puros a 30^{\circ} \mathrm{C}. Especifique as aproximações feitas.

Passo 1

O enunciado dá uma solução binária (hexano + heptano) à temperatura 30^\circ\mathrm{C} com as seguintes informações:
x_{\text{hexano}} = 0{,}305,\qquad P_{\text{total}} = 95{,}0\\ \text{torr},\qquad y_{\text{hexano}} = 0{,}555.
O que nos pedem: determinar as pressões de vapor dos componentes puros à 30^\circ\mathrm{C}, isto é p_{\text{hexano}}^* e p_{\text{heptano}}^*.

Passo 2

Vamos usar duas relações físicas importantes (vou explicar cada uma com calma):
\text{(Raoult)}\qquad p_i = x_i\,p_i^*,
onde p_i é a pressão parcial do componente i na fase vapor, x_i é a fração molar do componente i na fase líquida e p_i^* é a pressão de vapor do componente puro i à mesma temperatura. Explicando: Raoult diz que, em solução ideal, a pressão parcial de cada componente é proporcional à sua fração molar na fase líquida pela constante p_i^* (pressão do puro).
E a segunda:
\text{(Dalton)}\qquad P = \sum_i p_i,
onde P é a pressão total do vapor (aqui 95{,}0\\ \text{torr}). Além disso, a fração molar do componente i na fase vapor é
y_i = \frac{p_i}{P}.
Explicando: y_i é a razão entre a pressão parcial do componente e a pressão total.
Agora combinamos: de y_1=\dfrac{p_1}{P} e p_1=x_1 p_1^* obtemos a fórmula útil para p_1^*:
p_1^*=\frac{y_1\,P}{x_1}.
Analogamente, para o componente 2 (heptano),
p_2^*=\frac{y_2\,P}{x_2},
onde x_2=1-x_1 e y_2=1-y_1. Essas expressões vêm de substituir Raoult em Dalton e em y_i.

Passo 3

Calculo das frações complementares (passo simples mas importante):
x_{\text{heptano}} = x_2 = 1 - x_{\text{hexano}} = 1 - 0{,}305 = 0{,}695,
y_{\text{heptano}} = y_2 = 1 - y_{\text{hexano}} = 1 - 0{,}555 = 0{,}445.

Passo 4

Agora calculo a pressão de vapor do hexano puro usando a fórmula derivada:
p_{\text{hexano}}^* = \frac{y_{\text{hexano}}\,P}{x_{\text{hexano}}} = \frac{0{,}555 \times 95{,}0}{0{,}305}.
Faço as contas passo a passo:
0{,}555\times 95{,}0 = 52{,}725,
p_{\text{hexano}}^* = \frac{52{,}725}{0{,}305} \approx 172{,}95\\ \text{torr}.

Passo 5

Calculo a pressão de vapor do heptano puro:
p_{\text{heptano}}^* = \frac{y_{\text{heptano}}\,P}{x_{\text{heptano}}} = \frac{0{,}445 \times 95{,}0}{0{,}695}.
Novamente passo a passo:
0{,}445\times 95{,}0 = 42{,}275,
p_{\text{heptano}}^* = \frac{42{,}275}{0{,}695} \approx 60{,}82\\ \text{torr}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check): usando Raoult de volta,
p_1 = x_1 p_1^* = 0{,}305\times 172{,}95 \approx 52{,}725\\ \text{torr},
p_2 = x_2 p_2^* = 0{,}695\times 60{,}82 \approx 42{,}275\\ \text{torr},
e p_1+p_2 \approx 95{,}0\\ \text{torr}, que é a pressão total dada — consistente com os dados.

Passo 7

Especificação das aproximações feitas (pediu explicitamente):
  • Assumi que a solução é ideal e que a Lei de Raoult vale exatamente ( p_i=x_i p_i^*). Em soluções reais pode haver desvios (positivos ou negativos) se houver interações não ideais entre moléculas; aqui estamos assumindo que essas não são importantes.
  • Assumi comportamento ideal do vapor (Lei de Dalton aplica-se sem correções), ou seja, as pressões parciais somam a pressão total sem outros efeitos.
  • Assumi temperatura uniforme e igual para todos os equilíbrios ( 30^\circ\mathrm{C}).
    Se na prática houver desvios significativos, as pressões de vapor calculadas seriam apenas aproximações: desvios positivos fariam com que os p_i^* reais fossem diferentes do valor inferido, etc.
Força aí — com essas fórmulas você resolve rapidamente questões parecidas na prova: memorizando p_i=x_i p_i^* e y_i=p_i/P você já consegue isolar p_i^* como fizemos.

Resposta

p_{\text{hexano}}^* = 172{,}95\\ \text{torr}
p_{\text{heptano}}^* = 60{,}82\\ \text{torr}

Exercícios relacionados