( 0.625 cada item) Seja \mathbf{V}=\mathcal{P}_{1}(\Re) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 . Considere \alpha=\{1,2 x\} uma base de \mathbf{V}. Defina em \mathbf{V} o produto interno
\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\int_{0}^{1} \mathbf{u}(x) \mathbf{v}(x) d x
(a) Podemos afirmar que \mathbf{u}(x)=1 e \mathbf{v}(x)=2 x são ortogonais? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha, usando Gram-Schmidt, uma base ortogonal para \mathbf{V}=\mathcal{P}_{1}(\Re).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar tudo claramente):
  • Espaço vetorial: \mathbf{V}=\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}), ou seja, polinômios de grau \le 1.
  • Base dada: \alpha=\{\,1,\;2x\,\}.
  • Produto interno definido por
\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\int_{0}^{1}\mathbf{u}(x)\mathbf{v}(x)\,dx.
O enunciado pede:
(a) verificar se \mathbf{u}(x)=1 e \mathbf{v}(x)=2x são ortogonais (com justificativa);
(b) obter, usando o processo de Gram–Schmidt, uma base ortogonal para \mathbf{V}.

Passo 2

Regra de ortogonalidade e aplicação direta:
  • Definição prática: dois vetores (aqui, polinômios) p e q são ortogonais quando \langle p,q\rangle=0.
  • Vamos calcular \langle 1,2x\rangle. Pelo produto interno dado,
\langle 1,2x\rangle=\int_{0}^{1}1\cdot(2x)\,dx=\int_{0}^{1}2x\,dx.
  • Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{1}2x\,dx = \left[x^{2}\right]_{0}^{1}=1^{2}-0^{2}=1.
  • Como \langle 1,2x\rangle=1\neq 0, concluímos que 1 e 2x não são ortogonais.
(Dica rápida: quando o produto interno definido por integral for zero, a função média do produto sobre [0,1] é zero — aqui não é o caso.)

Passo 3

Apresentando Gram–Schmidt (fórmula e ideia) para duas funções:
  • Gram–Schmidt transforma uma base \{w_{1},w_{2}\} em uma base ortogonal \{v_{1},v_{2}\} com:
v_{1}=w_{1}, \qquad v_{2}=w_{2}-\operatorname{proj}_{v_{1}}(w_{2}),
onde a projeção é dada por
\operatorname{proj}_{v_{1}}(w_{2})=\frac{\langle w_{2},v_{1}\rangle}{\langle v_{1},v_{1}\rangle}\,v_{1}.
  • Explicando: \langle w_{2},v_{1}\rangle é um número (o coeficiente da “sombra” de w_{2} sobre v_{1}), e \langle v_{1},v_{1}\rangle é o quadrado da norma de v_{1}. Subtrair a projeção remove a componente de w_{2} que está na direção de v_{1}, garantindo ortogonalidade.

Passo 4

Aplicando Gram–Schmidt ao caso \{w_{1},w_{2}\}=\{1,\,2x\}:
  • Tome v_{1}=w_{1}=1.
  • Calcule \langle w_{2},v_{1}\rangle=\langle 2x,1\rangle. Já fizemos antes e obtivemos
\langle 2x,1\rangle=\int_{0}^{1}2x\,dx=1.
  • Calcule \langle v_{1},v_{1}\rangle=\langle 1,1\rangle=\int_{0}^{1}1\cdot1\,dx=\int_{0}^{1}1\,dx=1.
  • Assim
\operatorname{proj}_{v_{1}}(w_{2})=\frac{\langle 2x,1\rangle}{\langle 1,1\rangle}\,1=\frac{1}{1}\cdot 1=1.
  • Logo
v_{2}=w_{2}-\operatorname{proj}_{v_{1}}(w_{2})=2x-1.

Passo 5

Verificação de ortogonalidade e possibilidade de normalizar:
  • Verifique \langle v_{1},v_{2}\rangle:
\langle 1,\,2x-1\rangle=\int_{0}^{1}(2x-1)\,dx=\left[x^{2}-x\right]_{0}^{1}=1-1=0,
logo são ortogonais, como queríamos.
  • Se quiser transformar em base ortonormal (opcional): calcule as normas.
\langle v_{1},v_{1}\rangle=1\quad\Rightarrow\quad \|v_{1}\|=1.
\langle v_{2},v_{2}\rangle=\int_{0}^{1}(2x-1)^{2}\,dx=\int_{0}^{1}(4x^{2}-4x+1)\,dx
\qquad =4\cdot\frac{1}{3}-4\cdot\frac{1}{2}+1=\frac{4}{3}-2+1=\frac{1}{3}.
Portanto \|v_{2}\|=\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}. Uma base ortonormal seria
\{\,1,\;\sqrt{3}(2x-1)\,\}.

Resposta

(a) Não.
(b) \{\,1,\;2x-1\,\}

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