( 0.625 cada item) Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 . Considere
uma base de
. Defina em
o produto interno
(a) Podemos afirmar que
e
são ortogonais? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha, usando Gram-Schmidt, uma base ortogonal para
.
(b) Obtenha, usando Gram-Schmidt, uma base ortogonal para
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou listar tudo claramente):
- Espaço vetorial:
, ou seja, polinômios de grau . - Base dada:
. - Produto interno definido por
O enunciado pede:
(a) verificar se e
são ortogonais (com justificativa);
(b) obter, usando o processo de Gram–Schmidt, uma base ortogonal para .
(a) verificar se
(b) obter, usando o processo de Gram–Schmidt, uma base ortogonal para
Passo 2
Regra de ortogonalidade e aplicação direta:
- Definição prática: dois vetores (aqui, polinômios)
e são ortogonais quando . - Vamos calcular
. Pelo produto interno dado,
- Calcule a integral passo a passo:
- Como
, concluímos que e não são ortogonais.
(Dica rápida: quando o produto interno definido por integral for zero, a função média do produto sobre
é zero — aqui não é o caso.)
Passo 3
Apresentando Gram–Schmidt (fórmula e ideia) para duas funções:
- Gram–Schmidt transforma uma base
em uma base ortogonal com:
onde a projeção é dada por
- Explicando:
é um número (o coeficiente da “sombra” de sobre ), e é o quadrado da norma de . Subtrair a projeção remove a componente de que está na direção de , garantindo ortogonalidade.
Passo 4
Aplicando Gram–Schmidt ao caso
:
- Tome
. - Calcule
. Já fizemos antes e obtivemos
- Calcule
- Assim
- Logo
Passo 5
Verificação de ortogonalidade e possibilidade de normalizar:
- Verifique
:
logo são ortogonais, como queríamos.
- Se quiser transformar em base ortonormal (opcional): calcule as normas.
Portanto
. Uma base ortonormal seria
Resposta
(a) Não.
(b)