Seja B=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right\} uma base de um espaço vetorial V, em cada um dos itens a seguir determine a matriz de coordenadas de w \in V, com relação à base B :
V=\mathbb{M}^{2}(\mathbb{R}), W=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ -1 & 3\end{array}\right), B=\left\{\left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • O espaço vetorial é V=\mathbb{M}^{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais).
  • A matriz cujas coordenadas queremos é
W=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
  • A base B é formada por quatro matrizes:
u_{1}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad u_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad u_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad u_{4}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • O que o exercício pede: determinar a matriz de coordenadas de W em relação à base B; isto é, encontrar os escalares (coordenadas) \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, tais que
W = x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + x_{3}u_{3} + x_{4}u_{4}.]

Passo 2

Conceito essencial (rápida aula): as coordenadas de um vetor em relação a uma base são os coeficientes da combinação linear que expressa esse vetor como soma dos vetores da base. Como B tem quatro elementos e V é de dimensão 4, existe uma única combinação com coeficientes \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
Escrevemos a combinação linear pedida:
x_{1}\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + x_{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + x_{3}\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + x_{4}\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora, para encontrar os x_i é só comparar entradas correspondentes das matrizes (cada posição em uma matriz 2\times2 gera uma equação). Vamos escrever a soma no lado esquerdo e igualar terminho a terminho.
Somando as matrizes por entradas obtemos:
\begin{pmatrix} - x_{1} + x_{2} & x_{1} + x_{2} \\[4pt] x_{3} & x_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Portanto o sistema de equações é:
\begin{cases} - x_{1} + x_{2} = 2,\\[4pt] x_{1} + x_{2} = 0,\\[4pt] x_{3} = -1,\\[4pt] x_{4} = 3. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema — primeiro as duas equações em x_{1},x_{2}.
Temos
\begin{aligned} - x_{1} + x_{2} &= 2,\\[4pt] x_{1} + x_{2} &= 0. \end{aligned}
Uma forma prática: somar as duas equações para eliminar x_{1}:
(-x_{1}+x_{2}) + (x_{1}+x_{2}) = 2 + 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{2} = 2.
Logo
x_{2} = 1.
Substituindo x_{2}=1 em x_{1}+x_{2}=0
x_{1} + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = -1.
Das outras duas equações já vimos diretamente:
x_{3} = -1,\qquad x_{4} = 3.]

Passo 5

Portanto as coordenadas de W na base B, na ordem \{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\}, são os escalares
x_{1}=-1,\quad x_{2}=1,\quad x_{3}=-1,\quad x_{4}=3.
Escrevendo como vetor-coluna de coordenadas (forma padrão de matriz de coordenadas):
\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 1 \\[4pt] -1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (recomposição) — para ficar confiante, recomponho W com esses coeficientes:
-1\cdot u_{1} + 1\cdot u_{2} -1\cdot u_{3} + 3\cdot u_{4} = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}(-1) + \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}(1) + \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}(-1) + \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}(3).
Calculando cada entrada:
\begin{pmatrix}(-1)(-1)+(1)(1) & (-1)(1)+(1)(1) \\[4pt] (-1) & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}=W,
confirmação feita — tudo bate certinho.]

Resposta

\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 1 \\[4pt] -1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}]

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