Seja B=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right\} uma base de um espaço vetorial V, em cada um dos itens a seguir determine a matriz de coordenadas de w \in V, com relação à base B : V=\mathbb{M}^{2}(\mathbb{R}), W=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ -1 & 3\end{array}\right), B=\left\{\left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
O espaço vetorial é V=\mathbb{M}^{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais).
O que o exercício pede: determinar a matriz de coordenadas de W em relação à base B; isto é, encontrar os escalares (coordenadas) \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, tais que
W = x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + x_{3}u_{3} + x_{4}u_{4}.]
Passo 2
Conceito essencial (rápida aula): as coordenadas de um vetor em relação a uma base são os coeficientes da combinação linear que expressa esse vetor como soma dos vetores da base. Como B tem quatro elementos e V é de dimensão 4, existe uma única combinação com coeficientes \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
Agora, para encontrar os x_i é só comparar entradas correspondentes das matrizes (cada posição em uma matriz 2\times2 gera uma equação). Vamos escrever a soma no lado esquerdo e igualar terminho a terminho.