( 0.625 ponto cada item) Considerar o conjunto formado pelos vetores \mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(1,-1,3), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(3,-2,-8) e \mathbf{v}_{\mathbf{3}}= (5,-4,-2).
(a) Determinar o subespaço gerado \mathbf{W}=\left[\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}, \mathbf{v}_{\mathbf{3}}\right].
(b) Verificar se o vetor (3,0,1) \in \mathbf{W}.
(c) Exibir uma base para \mathbf{W}.
(d) Qual é a dimensão de \mathbf{W} ?

Passo 1

O enunciado dá três vetores
\mathbf{v}_1=(1,-1,3),\qquad \mathbf{v}_2=(3,-2,-8),\qquad \mathbf{v}_3=(5,-4,-2)
e pede quatro coisas:
  • (a) Determinar o subespaço gerado \mathbf{W}=[\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3].
  • (b) Verificar se o vetor (3,0,1) pertence a \mathbf{W}.
  • (c) Exibir uma base para \mathbf{W}.
  • (d) Encontrar a dimensão de \mathbf{W}.
Informações relevantes que vamos usar: “subespaço gerado” (span) significa todos os combinados lineares a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3 com a,b,c\in\mathbb{R}; para estudar dependência linear e reduzir redundância entre vetores podemos fazer eliminação de Gauss (ou calcular produto vetorial para achar uma equação de plano em \mathbb{R}^3).

Passo 2

Vamos verificar dependências entre \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 fazendo eliminação nas colunas da matriz cujas colunas são esses vetores. Considere a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] -1 & -2 & -4\\[4pt] 3 & -8 & -2 \end{pmatrix},
onde a coluna 1 é \mathbf{v}_1, coluna 2 é \mathbf{v}_2 e coluna 3 é \mathbf{v}_3. Vamos aplicar operações elementares por linhas para achar a forma escalonada (isso mostra quantas colunas-pivô temos, ou seja, quantos vetores independentes há).
Primeiro, use R_2\leftarrow R_2+R_1 e R_3\leftarrow R_3-3R_1. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -17 & -17 \end{pmatrix}.
Agora elimine a entrada -17 em R_3 usando R_3\leftarrow R_3+17R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Finalmente elimine o 3 acima do pivô da segunda coluna com R_1\leftarrow R_1-3R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Achamos duas linhas/colunas-pivô (colunas 1 e 2), e a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras. A partir dessa forma podemos ler diretamente a relação entre as colunas: a terceira coluna é 2 vezes a primeira mais 1 vez a segunda. Ou seja,
\mathbf{v}_3 = 2\mathbf{v}_1 + 1\mathbf{v}_2.]

Passo 3

Interpretação e consequência imediata: \mathbf{v}_3 é dependente de \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2, então não acrescenta dimensão ao espaço gerado. Portanto
\mathbf{W}=\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}=\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.
Como estamos em \mathbb{R}^3 e \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 são dois vetores linearmente independentes (havíamos dois pivôs), \mathbf{W} é um plano através da origem. Podemos obter a equação deste plano encontrando um vetor normal \mathbf{n} ortogonal a \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 usando produto vetorial:
\mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & -1 & 3\\[4pt] 3 & -2 & -8 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\mathbf{n} = \big( (-1)(-8)-3(-2),\; -(1(-8)-3\cdot3),\; 1(-2)-(-1)\cdot3 \big).
Isso dá
\mathbf{n}=(8+6,\; -(-8-9),\; -2+3)=(14,\;17,\;1).
A equação cartesiana do plano (subespaço) é \mathbf{n}\cdot(x,y,z)=0, ou seja
14x+17y+z=0.
Portanto, uma descrição conveniente de \mathbf{W} é
\mathbf{W}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 14x+17y+z=0\}
ou, de forma equivalente, \mathbf{W}=\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.]

Passo 4

Agora verificamos se (3,0,1) pertence a \mathbf{W}. Basta testar na equação do plano:
14\cdot 3 + 17\cdot 0 + 1 = 42 + 0 + 1 = 43.
Como 43\neq 0, o vetor (3,0,1) não satisfaz a equação do plano 14x+17y+z=0. Logo
(3,0,1)\notin\mathbf{W}.
(Alternativamente, tentar escrever (3,0,1) como a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2 levaria a sistema inconsistente; o teste com a equação do plano é mais direto.)

Passo 5

Escolha de uma base: já vimos que \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são independentes (duas colunas-pivô na eliminação). Logo
\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}
é uma base de \mathbf{W}. Poderíamos também escolher \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\} ou \{\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} contanto que os vetores escolhidos sejam linearmente independentes; neste caso \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é a escolha natural e direta.

Passo 6

A dimensão de \mathbf{W} é o número de vetores de uma base. Como encontramos uma base com dois vetores independentes, tem-se
\dim(\mathbf{W})=2.

Resposta

(a) \mathbf{W}=\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 14x+17y+z=0\}.
(b) (3,0,1)\notin\mathbf{W}.
(c) Uma base é \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}=\{(1,-1,3),(3,-2,-8)\}.
(d) \dim\mathbf{W}=2.

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