( 0.625 cada item) Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)=(7 x-4 y,-4 x+y).
(a) O operador T é autoadjunto? Justifique. É ortogonal? Justifique.
(b) Determine uma base ortonormal \beta de \mathbb{R}^{2} formada por autovetores de T ? Justifique o raciocínio utilizado.
(c) O operador T é diagonalizável? Justifique com argumentos coerentes.
(d) Determine uma matriz ortogonal \mathbf{P} que diagonaliza T.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definido por
T(x,y)=(7x-4y,\,-4x+y).
As perguntas são:
(a) T é autoadjunto? Justifique. T é ortogonal? Justifique.
(b) Determine uma base ortonormal \beta de \mathbb{R}^{2} formada por autovetores de T. Justifique o raciocínio.
(c) T é diagonalizável? Justifique com argumentos coerentes.
(d) Determine uma matriz ortogonal \mathbf{P} que diagonaliza T.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A ação de T nos vetores padrão é T(1,0)=(7,-4) e T(0,1)=(-4,1).
Podemos associar T à matriz A relativa à base canônica, cujas colunas são T(1,0) e T(0,1).
Passo 2
Construir a matriz de T na base canônica e lembrar definições-chave (sem resolver ainda).
A matriz de T na base canônica é
Um operador (ou matriz) é autoadjunto (simétrico, no espaço euclidiano comproduto interno canônico) se sua matriz satisfaz A^{T}=A. Aqui A^{T} é a transposta de A. Isso significa que a matriz é igual à sua transposta, i.e., é simétrica.
Um operador é ortogonal se sua matriz satisfaz A^{T}A=I (equivalente a A^{-1}=A^{T}). Geometricamente, operadores ortogonais preservam produto interno e normas — são rotações/reflexões possivelmente combinadas.
Para diagonalizar A ortogonalmente (matriz ortogonal \mathbf{P} tal que \mathbf{P}^{T}A\mathbf{P} é diagonal), uma maneira prática é achar uma base ortonormal de autovetores: então as colunas de \mathbf{P} são esses autovetores unitários e o resultado é a matriz diagonal com autovalores.]
Passo 3
Responder (a): verificar autoadjunto e ortogonal com contas explícitas.
Observa-se que A^{2}\neq I (por exemplo, elemento (1,1) é 65\neq1). Portanto A^{T}A\neq I e A não é ortogonal. Conclusão: T é autoadjunto, mas não é ortogonal.]
Passo 4
Começar (b): calcular autovalores de A (passo necessário para achar autovetores e construir base ortonormal).
O polinômio característico é dado por \det(A-\lambda I)=0. Calcular:
Da primeira equação -2x-4y=0 segue x+2y=0 e portanto x=-2y. Um autovetor associado é \begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}. Norme-o: \left\|\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}. O autovetor unitário correspondente é
Da primeira equação 8x-4y=0 segue 2x-y=0, logo y=2x. Um autovetor associado é \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}. Norme-o: \left\|\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}. O autovetor unitário correspondente é
Verificação de ortogonalidade dos autovetores:
Calcule o produto escalar de u_{1} e u_{2}. Usando os vetores não normalizados (-2,1) e (1,2):
(-2,1)\cdot(1,2)=-2\cdot1+1\cdot2=0.
Como os vetores são ortogonais antes da normalização, suas versões normalizadas u_{1} e u_{2} formam uma base ortonormal. Portanto uma base ortonormal \beta de \mathbb{R}^{2} formada por autovetores é
Dica conceitual: isso é esperado, pois matrizes simétricas têm autovetores ortogonais (teorema espectral).]
Passo 6
Responder (c): diagonalizabilidade de T.
Argumento 1 (prático): encontramos dois autovetores linearmente independentes (os de autovalores distintos 9 e -1); como a dimensão do espaço é 2, estes formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Logo A é diagonalizável (existe base de autovetores).
Argumento 2 (teórico): A é simétrica (autoadjunto) e, pelo teorema espectral para matrizes reais simétricas, A é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Ambos os argumentos concordam: sim, T é diagonalizável (de fato diagonalizável por uma matriz ortogonal).
Passo 7
Resolver (d): determinar matriz ortogonal \mathbf{P} que diagonaliza T.
Construção: tomar \mathbf{P} cujas colunas são os autovetores unitários u_{1} e u_{2} obtidos em
Esta \mathbf{P} é ortogonal pois suas colunas são ortonormais, isto é \mathbf{P}^{T}\mathbf{P}=I.
Verificação rápida da diagonalização (ideia): como A u_{1}=9 u_{1} e A u_{2}=-1 u_{2}, escrevendo P=[u_{1}\\ u_{2}] e D=\operatorname{diag}(9,-1) temos
A P = P D.
Multiplicando à esquerda por P^{T} (que é \,P^{-1} por ortogonalidade) obtemos
P^{T}A P = D,
ou seja, \mathbf{P} diagonaliza A de forma ortogonal. A matriz diagonal resultante é
(a) T é autoadjunto: sim, porque A^{T}=A. T é ortogonal: não, pois A^{T}A\neq I.
(b) Uma base ortonormal de autovetores é \displaystyle \beta=\left\{\begin{pmatrix}-2/\sqrt{5}\\[4pt]1/\sqrt{5}\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1/\sqrt{5}\\[4pt]2/\sqrt{5}\end{pmatrix}\right\}.
(c) T é diagonalizável: sim (autovalores distintos 9 e -1 dão duas autovetores linearmente independentes; além disso A é simétrica).
(d) Uma matriz ortogonal que diagonaliza T é \displaystyle \mathbf{P}=\begin{pmatrix}-2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5}\\[6pt]1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5}\end{pmatrix}, com \displaystyle \mathbf{P}^{T}A\mathbf{P}=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.]