( 0.625 cada item) Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)=(7 x-4 y,-4 x+y).
(a) O operador T é autoadjunto? Justifique. É ortogonal? Justifique.
(b) Determine uma base ortonormal \beta de \mathbb{R}^{2} formada por autovetores de T ? Justifique o raciocínio utilizado.
(c) O operador T é diagonalizável? Justifique com argumentos coerentes.
(d) Determine uma matriz ortogonal \mathbf{P} que diagonaliza T.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definido por
T(x,y)=(7x-4y,\,-4x+y).
As perguntas são:
(a) T é autoadjunto? Justifique. T é ortogonal? Justifique.
(b) Determine uma base ortonormal \beta de \mathbb{R}^{2} formada por autovetores de T. Justifique o raciocínio.
(c) T é diagonalizável? Justifique com argumentos coerentes.
(d) Determine uma matriz ortogonal \mathbf{P} que diagonaliza T.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A ação de T nos vetores padrão é T(1,0)=(7,-4) e T(0,1)=(-4,1).
  • Podemos associar T à matriz A relativa à base canônica, cujas colunas são T(1,0) e T(0,1).

Passo 2

Construir a matriz de T na base canônica e lembrar definições-chave (sem resolver ainda).
A matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}7 & -4\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix},
pois as colunas são T(1,0) e T(0,1).
Lembretes úteis (pequena aula):
  • Um operador (ou matriz) é autoadjunto (simétrico, no espaço euclidiano comproduto interno canônico) se sua matriz satisfaz A^{T}=A. Aqui A^{T} é a transposta de A. Isso significa que a matriz é igual à sua transposta, i.e., é simétrica.
  • Um operador é ortogonal se sua matriz satisfaz A^{T}A=I (equivalente a A^{-1}=A^{T}). Geometricamente, operadores ortogonais preservam produto interno e normas — são rotações/reflexões possivelmente combinadas.
  • Para diagonalizar A ortogonalmente (matriz ortogonal \mathbf{P} tal que \mathbf{P}^{T}A\mathbf{P} é diagonal), uma maneira prática é achar uma base ortonormal de autovetores: então as colunas de \mathbf{P} são esses autovetores unitários e o resultado é a matriz diagonal com autovalores.]

Passo 3

Responder (a): verificar autoadjunto e ortogonal com contas explícitas.
Verificação de autoadjuntidade:
Calcular A^{T}:
A^{T}=\begin{pmatrix}7 & -4\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix}=A.
Como A^{T}=A, a matriz é simétrica. Logo, T é autoadjunto (para o produto interno canônico em \mathbb{R}^{2}).
Verificação de ortogonalidade:
Calcular A^{T}A. Como A^{T}=A, temos A^{T}A=A^{2}. Vamos calcular A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}7 & -4\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7 & -4\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}65 & -32\\[4pt]-32 & 17\end{pmatrix}.
Observa-se que A^{2}\neq I (por exemplo, elemento (1,1) é 65\neq1). Portanto A^{T}A\neq I e A não é ortogonal. Conclusão: T é autoadjunto, mas não é ortogonal.]

Passo 4

Começar (b): calcular autovalores de A (passo necessário para achar autovetores e construir base ortonormal).
O polinômio característico é dado por \det(A-\lambda I)=0. Calcular:
\det\!\begin{pmatrix}7-\lambda & -4\\[4pt]-4 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(7-\lambda)(1-\lambda)-(-4)(-4).
Desenvolvendo:
(7-\lambda)(1-\lambda)-16 = 7-8\lambda+\lambda^{2}-16 = \lambda^{2}-8\lambda-9.
Resolver \lambda^{2}-8\lambda-9=0. Aplicando fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot1\cdot(-9)}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{8\pm10}{2}.
Assim os autovalores são
\lambda_{1}=9,\qquad \lambda_{2}=-1.]

Passo 5

Ainda em (b): encontrar autovetores e obter base ortonormal.
Autovetor para \lambda_{1}=9:
Resolver (A-9I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=0, ou
\begin{pmatrix}7-9 & -4\\[4pt]-4 & 1-9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -4\\[4pt]-4 & -8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação -2x-4y=0 segue x+2y=0 e portanto x=-2y. Um autovetor associado é \begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}. Norme-o: \left\|\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}. O autovetor unitário correspondente é
u_{1}=\begin{pmatrix}-2/\sqrt{5}\\[4pt]1/\sqrt{5}\end{pmatrix}.
Autovetor para \lambda_{2}=-1:
Resolver (A+I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=0, ou
\begin{pmatrix}7+1 & -4\\[4pt]-4 & 1+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & -4\\[4pt]-4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação 8x-4y=0 segue 2x-y=0, logo y=2x. Um autovetor associado é \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}. Norme-o: \left\|\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}. O autovetor unitário correspondente é
u_{2}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{5}\\[4pt]2/\sqrt{5}\end{pmatrix}.
Verificação de ortogonalidade dos autovetores:
Calcule o produto escalar de u_{1} e u_{2}. Usando os vetores não normalizados (-2,1) e (1,2):
(-2,1)\cdot(1,2)=-2\cdot1+1\cdot2=0.
Como os vetores são ortogonais antes da normalização, suas versões normalizadas u_{1} e u_{2} formam uma base ortonormal. Portanto uma base ortonormal \beta de \mathbb{R}^{2} formada por autovetores é
\beta=\left\{\,u_{1}=\begin{pmatrix}-2/\sqrt{5}\\[4pt]1/\sqrt{5}\end{pmatrix},\; u_{2}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{5}\\[4pt]2/\sqrt{5}\end{pmatrix}\,\right\}.
Dica conceitual: isso é esperado, pois matrizes simétricas têm autovetores ortogonais (teorema espectral).]

Passo 6

Responder (c): diagonalizabilidade de T.
Argumento 1 (prático): encontramos dois autovetores linearmente independentes (os de autovalores distintos 9 e -1); como a dimensão do espaço é 2, estes formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Logo A é diagonalizável (existe base de autovetores).
Argumento 2 (teórico): A é simétrica (autoadjunto) e, pelo teorema espectral para matrizes reais simétricas, A é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Ambos os argumentos concordam: sim, T é diagonalizável (de fato diagonalizável por uma matriz ortogonal).

Passo 7

Resolver (d): determinar matriz ortogonal \mathbf{P} que diagonaliza T.
Construção: tomar \mathbf{P} cujas colunas são os autovetores unitários u_{1} e u_{2} obtidos em

Passo 8

\mathbf{P}=\begin{pmatrix}-2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5}\\[6pt]1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5}\end{pmatrix}.
Esta \mathbf{P} é ortogonal pois suas colunas são ortonormais, isto é \mathbf{P}^{T}\mathbf{P}=I.
Verificação rápida da diagonalização (ideia): como A u_{1}=9 u_{1} e A u_{2}=-1 u_{2}, escrevendo P=[u_{1}\\ u_{2}] e D=\operatorname{diag}(9,-1) temos
A P = P D.
Multiplicando à esquerda por P^{T} (que é \,P^{-1} por ortogonalidade) obtemos
P^{T}A P = D,
ou seja, \mathbf{P} diagonaliza A de forma ortogonal. A matriz diagonal resultante é
D=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) T é autoadjunto: sim, porque A^{T}=A. T é ortogonal: não, pois A^{T}A\neq I.
(b) Uma base ortonormal de autovetores é \displaystyle \beta=\left\{\begin{pmatrix}-2/\sqrt{5}\\[4pt]1/\sqrt{5}\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1/\sqrt{5}\\[4pt]2/\sqrt{5}\end{pmatrix}\right\}.
(c) T é diagonalizável: sim (autovalores distintos 9 e -1 dão duas autovetores linearmente independentes; além disso A é simétrica).
(d) Uma matriz ortogonal que diagonaliza T é \displaystyle \mathbf{P}=\begin{pmatrix}-2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5}\\[6pt]1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5}\end{pmatrix}, com \displaystyle \mathbf{P}^{T}A\mathbf{P}=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.]

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