( 0.625 ponto cada item) Determinar os valores de k para os quais o sistema linear equivalente resultante, nos seguintes casos:
(a) Não tem solução;
(b) Tem única solução;
(c) Tem infinitas soluções.
Para sistemas lineares homogêneos, sempre existe pelo menos a solução trivial (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0). Por isso não pode haver casos “sem solução” a menos que o sistema não fosse homogêneo. Vou justificar isso com calma quando chegar lá.
A existência de solução única ou infinitas soluções está ligada ao posto (rank) da matriz dos coeficientes. Uma maneira prática para sistema quadrado 3\times3 é calcular o determinante \det(A):
Se \det(A)\neq 0, então A é inversível e o único vetor solução do sistema homogêneo é o vetor nulo — ou seja, solução única.
Se \det(A)=0, então A não é inversível; como o sistema é homogêneo, haverá dimensões livres e, portanto, infinitas soluções (se o posto for <3).
Vou calcular \det(A) e analisar os casos. Aqui explico também como calcular determinante de 3\times3: expandindo pela primeira linha (regra de Laplace na primeira linha),
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j} vezes o determinante da submatriz que sobra ao retirar linha 1 e coluna j. Vou fazer isso passo a passo.
Interpretação do determinante para o sistema homogêneo:
Se \det(A)\neq 0 (ou seja, se k-5\neq 0, isto é, se k\neq 5), a matriz A é inversível e o sistema homogêneo tem única solução, que é a solução trivial (0,0,0).
Se \det(A)=0 (ou seja, k=5), a matriz não é inversível e devemos checar o posto para ver o espaço de soluções. Como o sistema é homogêneo, quando k=5 não pode ocorrer “sem solução”; o mínimo que existe é a solução trivial, e com posto <3 aparecerão soluções não-triviais infinitamente muitas.
Conclusão parcial imediata:
(a) Não há valor de k que faça o sistema homogêneo ficar sem solução. Em outras palavras, para sistema homogêneo a alternativa “não tem solução” não ocorre para nenhum k.
Passo 5
Caso k\neq 5: \det(A)=k-5\neq 0.
Aqui A é inversível, logo o único vetor solução é o vetor nulo. Portanto, para todo k\neq 5 o sistema tem única solução (a trivial).
Vou registrar isso formalmente: para k\neq 5 — única solução.
Passo 6
Caso k=5: \det(A)=0. Vamos determinar o espaço de soluções (fazer eliminação para ver o posto e obter a forma paramétrica das soluções).
Logo o escalonamento mostra que o posto de A é 2 (duas linhas independentes). Como o número de incógnitas é 3, o espaço de soluções tem dimensão 3-\text{posto}=1: haverá infinitas soluções (uma família unidimensional).]