( 0.625 ponto cada item) Determinar os valores de k para os quais o sistema linear equivalente resultante, nos seguintes casos:
(a) Não tem solução;
(b) Tem única solução;
(c) Tem infinitas soluções.
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 \\ x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=0 \\ 2 x_{1}+k x_{2}-x_{3}=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=0,\\[4pt] 2x_{1}+k x_{2}-x_{3}=0, \end{cases}
e pede os valores de k para os quais:
(a) o sistema não tem solução;
(b) o sistema tem única solução;
(c) o sistema tem infinitas soluções.
Informações relevantes fornecidas:
  • É um sistema homogêneo (termos independentes são todos 0).
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -2 & -2\\[4pt] 2 & k & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Plano de ataque (explicado passo a passo):
  • Para sistemas lineares homogêneos, sempre existe pelo menos a solução trivial (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0). Por isso não pode haver casos “sem solução” a menos que o sistema não fosse homogêneo. Vou justificar isso com calma quando chegar lá.
  • A existência de solução única ou infinitas soluções está ligada ao posto (rank) da matriz dos coeficientes. Uma maneira prática para sistema quadrado 3\times3 é calcular o determinante \det(A):
    • Se \det(A)\neq 0, então A é inversível e o único vetor solução do sistema homogêneo é o vetor nulo — ou seja, solução única.
    • Se \det(A)=0, então A não é inversível; como o sistema é homogêneo, haverá dimensões livres e, portanto, infinitas soluções (se o posto for <3).
      Vou calcular \det(A) e analisar os casos. Aqui explico também como calcular determinante de 3\times3: expandindo pela primeira linha (regra de Laplace na primeira linha),
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j} vezes o determinante da submatriz que sobra ao retirar linha 1 e coluna j. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Cálculo do determinante de A pela primeira linha.
Os cofatores (determinantes das submatrizes) são:
\begin{aligned} \det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt] k & -1\end{pmatrix} &=(-2)(-1)-(-2)k=2+2k,\\[6pt] \det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} &=1\cdot(-1)-(-2)\cdot2=-1+4=3,\\[6pt] \det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 2 & k\end{pmatrix} &=1\cdot k - (-2)\cdot 2=k+4. \end{aligned}
Agora expandindo pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot(2+2k) - 1\cdot(3) + (-1)\cdot(k+4).
Simplificando:
\det(A)=2+2k-3-(k+4)=k-5.
Portanto
\det(A)=k-5.]

Passo 4

Interpretação do determinante para o sistema homogêneo:
  • Se \det(A)\neq 0 (ou seja, se k-5\neq 0, isto é, se k\neq 5), a matriz A é inversível e o sistema homogêneo tem única solução, que é a solução trivial (0,0,0).
  • Se \det(A)=0 (ou seja, k=5), a matriz não é inversível e devemos checar o posto para ver o espaço de soluções. Como o sistema é homogêneo, quando k=5 não pode ocorrer “sem solução”; o mínimo que existe é a solução trivial, e com posto <3 aparecerão soluções não-triviais infinitamente muitas.
Conclusão parcial imediata:
  • (a) Não há valor de k que faça o sistema homogêneo ficar sem solução. Em outras palavras, para sistema homogêneo a alternativa “não tem solução” não ocorre para nenhum k.

Passo 5

Caso k\neq 5: \det(A)=k-5\neq 0.
  • Aqui A é inversível, logo o único vetor solução é o vetor nulo. Portanto, para todo k\neq 5 o sistema tem única solução (a trivial).
    Vou registrar isso formalmente: para k\neq 5 — única solução.

Passo 6

Caso k=5: \det(A)=0. Vamos determinar o espaço de soluções (fazer eliminação para ver o posto e obter a forma paramétrica das soluções).
Para k=5 a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -2 & -2\\[4pt] 2 & 5 & -1 \end{pmatrix}.
Faço eliminação por linhas (operações elementares) para achar o posto:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1 R_2=(0,-3,-1).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 R_3=(0,3,1).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
  • Somando R_3 \leftarrow R_3 + R_2 obtemos R_3=(0,0,0).
Logo o escalonamento mostra que o posto de A é 2 (duas linhas independentes). Como o número de incógnitas é 3, o espaço de soluções tem dimensão 3-\text{posto}=1: haverá infinitas soluções (uma família unidimensional).]

Passo 7

Encontrando a solução geral quando k=5.
A matriz escalonada corresponde ao sistema
\begin{aligned} x_1 + x_2 - x_3 &=0,\\[4pt] -3x_2 - x_3 &=0. \end{aligned}
Da segunda equação:
-3x_2 - x_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = -3x_2.
Substituindo na primeira:
x_1 + x_2 - (-3x_2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 + x_2 +3x_2=0
\Longrightarrow\quad x_1 +4x_2=0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = -4x_2.
Tomando o parâmetro t=x_2\in\mathbb{R}, obtemos a família de soluções
(x_1,x_2,x_3)=t(-4,\,1,\,-3),\qquad t\in\mathbb{R},
ou seja, infinitas soluções (toda a reta gerada pelo vetor (-4,1,-3)).]

Resposta

(a) nenhum valor de k\
(b) k\neq 5\
(c) k=5

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