Questão 8: Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por
T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, x+2 y-z,-x+y+4 z) .
Determinar o vetor v \in \mathbb{R}^{3} tal que T(v)=v.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(x+2y+2z,\;x+2y-z,\;-x+y+4z).
A pergunta é: determinar o(s) vetor(es) v\in\mathbb{R}^3 tais que T(v)=v.
Informações relevantes dadas:
  • A ação de T sobre um vetor (x,y,z) está explicitamente fornecida pelos três componentes acima.
  • Quer-se todos os vetores que permanecem iguais após aplicação de T, isto é, os vetores fixos por T.

Passo 2

Interpretação do que vamos resolver (sem calcular ainda): exigir T(v)=v significa que, para v=(x,y,z), as três componentes de T(x,y,z) devem ser iguais às componentes correspondentes de (x,y,z). Em linguagem linear isso é resolver a equação
(T-I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Geometricamente, os vetores procurados são os autovetores de T associados ao autovalor \lambda=1, ou seja, o núcleo da transformação linear T-I.

Passo 3

Escrever T na forma matricial em relação à base canônica. Se v=(x,y,z) então podemos escrever T(v)=A v com
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 4 \end{pmatrix},
pois cada linha contém os coeficientes de x,y,z na respectiva componente de T(x,y,z). Pedimos então soluções de
(A-I)v=0.]

Passo 4

Calcular A-I e escrever o sistema linear correspondente. Temos
A-I=\begin{pmatrix} 1-1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2-1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
A equação (A-I)v=0 dá o sistema
\begin{cases} 0\cdot x + 2y + 2z = 0,\\[4pt] x + y - z = 0,\\[4pt] - x + y + 3z = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo, de forma direta e bem didática.
Da primeira equação obtemos
2y+2z=0\quad\Longrightarrow\quad y+z=0.
Isolando y,
y=-z.
Substituímos y=-z na segunda equação:
x + y - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + (-z) - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 2z = 0.
Logo
x = 2z.
Verificamos a terceira equação para consistência: substituir x=2z e y=-z em
- x + y + 3z = 0:
temos
-2z + (-z) + 3z = (-2-1+3)z = 0\cdot z = 0,
que é verdadeira para todo z. O sistema é consistente e a solução depende de um parâmetro livre z.

Passo 6

Escrever a solução geral. Tomando parâmetro t=z\in\mathbb{R}, obtemos
x=2t,\qquad y=-t,\qquad z=t.
Portanto os vetores fixos são
v=(2t,-t,t)=t(2,-1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto inclui o vetor nulo (para t=0) e todos múltiplos escalares do vetor (2,-1,1). Se for preciso um vetor não nulo que satisfaça T(v)=v, pode-se escolher t=1 e obter v=(2,-1,1).

Resposta

\displaystyle v=t(2,-1,1),\\ t\in\mathbb{R}

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