Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
T: P_{3}(x) \longrightarrow P_{3}(x) dada por T p=p^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autoespaços associados da transformação linear T: P_{3}(x)\longrightarrow P_{3}(x) definida por T(p)=p' (derivada de p).\n
Informações dadas e o que precisamos achar:
  • Espaço: P_{3}(x) — polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3.
  • Operador: T que leva um polinômio à sua derivada p'.
  • Objetivo: determinar todos os escalares \lambda (autovalores) para os quais existe um polinômio p\neq 0 tal que T(p)=\lambda p, e para cada \lambda descrevê-lo conjunto de vetores p que satisfazem isso (o autoespaço, i.e. o espaço próprio).

Passo 2

Definição prática que vamos usar (sem jargões pesados): um autovalor \lambda e um autovetor p\neq0 satisfazem
T(p)=\lambda p,
ou seja
p'(x)=\lambda\, p(x)
para todo x. O autoespaço associado a \lambda é o conjunto de todos os polinômios p\in P_{3}(x) que satisfazem essa igualdade (incluindo o polinômio zero), normalmente escrito como
E_\lambda=\{p\in P_{3}(x) : p'=\lambda p\}.
A estratégia prática: escrever um polinômio genérico de grau \le 3, calcular a derivada, impor p'=\lambda p e comparar coeficientes de cada potência de x para obter um sistema de equações para os coeficientes.

Passo 3

Escrevendo um polinômio genérico p\in P_{3}(x):
p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3,
onde a_0,a_1,a_2,a_3 são números reais (os coeficientes). Agora calcule a derivada:
p'(x)=a_1+2a_2 x+3a_3 x^2.
A condição p'=\lambda p fica
a_1+2a_2 x+3a_3 x^2=\lambda\bigl(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3\bigr).

Passo 4

Igualando coeficientes de cada potência de x\) (isto é, coeficiente de \(x^3,x^2,x, x^0\)) obtemos o sistema: \[\begin{cases} \text{coef. de }x^3: & 0=\lambda a_3,\\[4pt] \text{coef. de }x^2: & 3a_3=\lambda a_2,\\[4pt] \text{coef. de }x^1: & 2a_2=\lambda a_1,\\[4pt] \text{coef. de }x^0: & a_1=\lambda a_0. \end{cases}
Esse sistema descreve as relações entre os coeficientes a_0,a_1,a_2,a_3\] que um autovetor deve satisfazer para um dado \(\lambda.]

Passo 5

Análise do caso \lambda=0\). Substituindo \(\lambda=0\) nas equações: \[\begin{cases} 0=0\cdot a_3 \Rightarrow \text{sem informação adicional},\\[4pt] 3a_3=0 \Rightarrow a_3=0,\\[4pt] 2a_2=0 \Rightarrow a_2=0,\\[4pt] a_1=0\cdot a_0 \Rightarrow a_1=0. \end{cases}
Logo, para \lambda=0\] qualquer autovetor \(p deve ter a_1=a_2=a_3=0, ficando
p(x)=a_0\quad\text{(constante)}.
Como a_0 pode ser qualquer número real e polinômio não-nulo exige a_0\neq0, obtemos autovetores não triviais. Portanto \lambda=0 é de fato um autovalor, e o autoespaço associado é o espaço dos polinômios constantes, isto é
E_0=\text{span}\{1\}.]

Passo 6

Análise do caso \lambda\neq 0. Da primeira equação 0=\lambda a_3 segue que a_3=0. Substituindo em seguida na segunda equação dá 3a_3=\lambda a_2\Rightarrow 0=\lambda a_2, como \lambda\neq0 obtemos a_2=0. Da terceira equação 2a_2=\lambda a_1 vem 0=\lambda a_1 e assim a_1=0. Finalmente da quarta equação a_1=\lambda a_0 vem 0=\lambda a_0 e então a_0=0. Assim todos os coeficientes a_0,a_1,a_2,a_3 são zero, ou seja a única solução é o polinômio nulo. Conclusão: para \lambda\neq0 não existem autovetores não-nulos. Portanto não há autovalores diferentes de zero.

Passo 7

Interpretação e observação adicional (didática e útil para prova): o operador derivação em P_3(x) é nilpotente (aplicando T quatro vezes qualquer polinômio de grau \le 3 vai para zero), por isso seu único autovalor é 0. O autoespaço associado a 0 tem dimensão 1 (os polinômios constantes).

Resposta

\lambda=0:\\ E_0=\operatorname{Ker}(T)=\text{span}\{1\}

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