Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autoespaços associados da transformação linear
definida por
(derivada de
).\n
Informações dadas e o que precisamos achar:
Informações dadas e o que precisamos achar:
- Espaço:
— polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - Operador:
que leva um polinômio à sua derivada . - Objetivo: determinar todos os escalares
(autovalores) para os quais existe um polinômio tal que , e para cada descrevê-lo conjunto de vetores que satisfazem isso (o autoespaço, i.e. o espaço próprio).
Passo 2
Definição prática que vamos usar (sem jargões pesados): um autovalor
e um autovetor
satisfazem
ou seja
para todo
. O autoespaço associado a
é o conjunto de todos os polinômios
que satisfazem essa igualdade (incluindo o polinômio zero), normalmente escrito como
A estratégia prática: escrever um polinômio genérico de grau
, calcular a derivada, impor
e comparar coeficientes de cada potência de
para obter um sistema de equações para os coeficientes.
Passo 3
Escrevendo um polinômio genérico
:
onde
são números reais (os coeficientes). Agora calcule a derivada:
A condição
fica
Passo 4
Igualando coeficientes de cada potência de
Esse sistema descreve as relações entre os coeficientes
.]
Passo 5
Análise do caso
Logo, para
deve ter
, ficando
Como
pode ser qualquer número real e polinômio não-nulo exige
, obtemos autovetores não triviais. Portanto
é de fato um autovalor, e o autoespaço associado é o espaço dos polinômios constantes, isto é
Passo 6
Análise do caso
. Da primeira equação
segue que
. Substituindo em seguida na segunda equação dá
, como
obtemos
. Da terceira equação
vem
e assim
. Finalmente da quarta equação
vem
e então
. Assim todos os coeficientes
são zero, ou seja a única solução é o polinômio nulo. Conclusão: para
não existem autovetores não-nulos. Portanto não há autovalores diferentes de zero.
Passo 7
Interpretação e observação adicional (didática e útil para prova): o operador derivação em
é nilpotente (aplicando
quatro vezes qualquer polinômio de grau
vai para zero), por isso seu único autovalor é
. O autoespaço associado a
tem dimensão
(os polinômios constantes).