63-68 - Encontre o valor exato de cada expressão.
arcsen 1
arcsen 1
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor exato de
.
Informações dadas: a expressão é a função arco-seno (inversa do seno) avaliada em . A tarefa é determinar o ângulo cujo seno vale
, e dar o valor exato (não decimal).
Informações dadas: a expressão é a função arco-seno (inversa do seno) avaliada em
Passo 2
O que significa
(ou
)?
Por definição, é o ângulo
tal que
, tomado dentro do intervalo principal (intervalo de valores que a função inversa retorna). Escrevendo:
Por definição,
Aqui
é o número dado (no nosso caso
) e
é o ângulo procurado. É importante lembrar o intervalo principal
porque o seno atinge um mesmo valor em muitos ângulos, mas a inversa devolve sempre o ângulo dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora resolvemos a equação
. Conhecemos os ângulos no círculo unitário em que o seno vale
: o seno é
quando o ponto no círculo está no topo, ou seja em
mais voltas inteiras de
. Assim a solução geral é
Isto lista todos os ângulos possíveis cujo seno é
.
Passo 4
Mas
retorna o ângulo no intervalo principal
. Entre os valores da forma
, o único que está nesse intervalo é
(porque adicionar ou subtrair
sai do intervalo). Logo o valor que a função inversa deve devolver é
.
Passo 5
Intuitivamente no círculo unitário: o seno é a coordenada
. O único ponto com
é o ponto superior do círculo, correspondente a
, isto é
. Como
está dentro do intervalo principal de
, essa é a resposta exata.