63-68 - Encontre o valor exato de cada expressão.
arcsen 1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor exato de \operatorname{arcsen} 1.
Informações dadas: a expressão é a função arco-seno (inversa do seno) avaliada em 1. A tarefa é determinar o ângulo cujo seno vale 1, e dar o valor exato (não decimal).

Passo 2

O que significa \arcsin (ou \operatorname{arcsen})?
Por definição, \arcsin(y) é o ângulo x tal que \sin x = y, tomado dentro do intervalo principal (intervalo de valores que a função inversa retorna). Escrevendo:
\arcsin(y)=x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x = y \text{ e } x\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Aqui y é o número dado (no nosso caso y=1) e x é o ângulo procurado. É importante lembrar o intervalo principal \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] porque o seno atinge um mesmo valor em muitos ângulos, mas a inversa devolve sempre o ângulo dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora resolvemos a equação \sin x = 1. Conhecemos os ângulos no círculo unitário em que o seno vale 1: o seno é 1 quando o ponto no círculo está no topo, ou seja em \tfrac{\pi}{2} mais voltas inteiras de 2\pi. Assim a solução geral é
\sin x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Isto lista todos os ângulos possíveis cujo seno é 1.

Passo 4

Mas \arcsin retorna o ângulo no intervalo principal \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Entre os valores da forma \tfrac{\pi}{2}+2k\pi, o único que está nesse intervalo é x=\tfrac{\pi}{2} (porque adicionar ou subtrair 2\pi sai do intervalo). Logo o valor que a função inversa deve devolver é \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Intuitivamente no círculo unitário: o seno é a coordenada y. O único ponto com y=1 é o ponto superior do círculo, correspondente a 90^\circ, isto é \tfrac{\pi}{2}. Como \tfrac{\pi}{2} está dentro do intervalo principal de \arcsin, essa é a resposta exata.

Resposta

\tfrac{\pi}{2}

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