Resolver o sistema (ou seja, encontrar os valores de x, y e z).
Verificar se o conjunto de todas as soluções forma um subespaço vetorial e explicar por quê.
Informações relevantes dadas: as três equações lineares acima são todas válidas simultaneamente para a solução procurada.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada didaticamente): vou usar substituição/eliminação simples. A ideia da substituição é isolar uma variável numa equação e substituir nas outras — isso reduz o número de incógnitas e facilita encontrar os valores. Isso é permitido porque as equações são equivalentes ao sistema original; qualquer solução do sistema original satisfaz essas igualdades e vice‑versa.
Passo 3
Isolar uma variável usando a terceira equação. Da terceira equação temos
y+z=3,
portanto posso expressar z em função de y:
z=3-y.
Isso é útil porque substituindo z nas outras equações o sistema passa a ter apenas x e y.
Passo 4
Substituir z=3-y na primeira equação \,x+y+z=1. Fazendo a substituição obtemos
x+y+(3-y)=1.
Simplifico somando os termos y e -y:
x+3=1.
Agora isolo x:
x=1-3=-2.
Então já temos \;x=-2.
Passo 5
Usar x=-2 na segunda equação \,2x-y=2 para encontrar y. Substituindo:
2(-2)-y=2.
Calculo 2(-2)=-4, então
-4-y=2.
Isolo -y:
-y=2+4=6,
portanto
y=-6.
Passo 6
Com y=-6 volto à expressão z=3-y (obtida no Passo 3) para encontrar z:
z=3-(-6)=3+6=9.
Logo z=9.
Passo 7
Resumo das soluções encontradas: \;x=-2,\;y=-6,\;z=9. Podemos checar rapidamente substituindo nas três equações:
Primeira: -2)+(-6)+9 = -8+9=1 OK.
Segunda: 2(-2)-(-6) = -4+6=2 OK.
Terceira: -6)+9=3 OK.
Tudo confere, então a solução é correta e única.
Passo 8
Agora a parte (b): explicar se o conjunto de soluções é subespaço vetorial. Primeiro, recordando a definição de subespaço de forma didática: um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob adição (se u,v\in W então u+v\in W) e (iii) é fechado sob multiplicação escalar (se u\in W e \alpha é escalar então \alpha u\in W). Essas condições implicam que qualquer combinação linear de vetores de W permanece em W.
Passo 9
Identificar o conjunto de soluções do sistema. Encontramos uma única solução particular:
s = (-2,-6,9).
Portanto o conjunto de soluções é \{(-2,-6,9)\}, um conjunto com um único ponto.
Passo 10
Verificação direta de uma das condições de subespaço (contém o vetor zero): o vetor zero é (0,0,0). Substituindo em \,x+y+z=1 obtemos 0+0+0=0\neq1. Logo (0,0,0) não satisfaz as equações e, portanto, não pertence ao conjunto de soluções. Como um subespaço deve conter o vetor zero, já podemos concluir que o conjunto de soluções NÃO é um subespaço vetorial.
Passo 11
Explicação alternativa (perspectiva geral): o conjunto de soluções de um sistema linear não homogêneo \,Ax=b é, em geral, uma translação afim do espaço de soluções do sistema homogêneo \,Ax=0. Ou seja, se x_p é uma solução particular, o conjunto de todas as soluções é
\{x_p + v \mid v\text{ é solução de }Ax=0\}.éçã
No nosso caso o sistema homogêneo associado (trocando os termos à direita por zero) é
resolvendo esse homogêneo rapidamente (por substituição como antes) encontra‑se apenas a solução trivial x=y=z=0. Assim o espaço de soluções homogêneo é \{(0,0,0)\} e o conjunto de soluções do sistema original é \{x_p\} (apenas o ponto (-2,-6,9)). Uma translação não‑trivial de um subespaço que não passa pela origem não é subespaço; precisa conter a origem para ser subespaço. Portanto, novamente, não é subespaço.
Resposta
(x,y,z)=(-2,-6,9)\nNão. O conjunto de soluções é \{(-2,-6,9)\}, que não contém o vetor nulo (0,0,0), logo não é subespaço vetorial.