63-68 - Encontre o valor exato de cada expressão.
\operatorname{arcsen}(-1 / \sqrt{2})

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \operatorname{arcsen}\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o valor dentro da função inversa é -\dfrac{1}{\sqrt{2}}. A resposta deve ser um ângulo (valor exato), isto é, um número real que, ao aplicarmos a função seno, retorna -\dfrac{1}{\sqrt{2}}. A resposta final deve respeitar o intervalo principal da função \operatorname{arcsen} (veremos qual é esse intervalo nos passos seguintes).

Passo 2

O que significa \operatorname{arcsen}? Vou explicar devagar: \operatorname{arcsen}(x) é o ângulo \theta tal que
\sin(\theta)=x
e que pertence ao intervalo principal de definição da função arco-seno. O intervalo principal da função \operatorname{arcsen} é
\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right],
ou seja, \operatorname{arcsen}(x) sempre nos dá um ângulo entre -\dfrac{\pi}{2} e \dfrac{\pi}{2}. Esse intervalo é escolhido para que \operatorname{arcsen} seja a inversa bem definida da função seno restrita.

Passo 3

Transformo o problema em uma equação trigonométrica: se
\theta=\operatorname{arcsen}\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right),
então
\sin(\theta)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}
e \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Agora identifico o ângulo cujo seno (em valor absoluto) é \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Sabemos que
\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Observe que \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} (basta racionalizar / comparar): portanto o ângulo de referência para \dfrac{1}{\sqrt{2}} é \dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Temos \sin(\theta)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Isso significa que o ângulo procurado tem referência \dfrac{\pi}{4} e sinal negativo no seno. Os ângulos com seno igual a -\dfrac{1}{\sqrt{2}} no círculo unitário são, por exemplo, \theta=-\dfrac{\pi}{4} (quarto quadrante) e \theta=\dfrac{5\pi}{4} (terceiro quadrante), etc. Mas a função \operatorname{arcsen} retorna o ângulo no intervalo principal \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. Desses, o único que pertence a esse intervalo é
\theta=-\dfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Portanto, escolhendo o ângulo dentro do intervalo principal, concluímos que
\operatorname{arcsen}\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\dfrac{\pi}{4}.

Resposta

-\dfrac{\pi}{4}

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