63-68 - Encontre o valor exato de cada expressão.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor exato de
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o valor dentro da função inversa é . A resposta deve ser um ângulo (valor exato), isto é, um número real que, ao aplicarmos a função seno, retorna
. A resposta final deve respeitar o intervalo principal da função
(veremos qual é esse intervalo nos passos seguintes).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o valor dentro da função inversa é
Passo 2
O que significa
? Vou explicar devagar:
é o ângulo
tal que
e que pertence ao intervalo principal de definição da função arco-seno. O intervalo principal da função
é
ou seja,
sempre nos dá um ângulo entre
e
. Esse intervalo é escolhido para que
seja a inversa bem definida da função seno restrita.
Passo 3
Transformo o problema em uma equação trigonométrica: se
então
e
.
Agora identifico o ângulo cujo seno (em valor absoluto) é
. Sabemos que
Observe que
(basta racionalizar / comparar): portanto o ângulo de referência para
é
.
Passo 4
Temos
. Isso significa que o ângulo procurado tem referência
e sinal negativo no seno. Os ângulos com seno igual a
no círculo unitário são, por exemplo,
(quarto quadrante) e
(terceiro quadrante), etc. Mas a função
retorna o ângulo no intervalo principal
. Desses, o único que pertence a esse intervalo é
Passo 5
Portanto, escolhendo o ângulo dentro do intervalo principal, concluímos que