63-68 - Encontre o valor exato de cada expressão.
\operatorname{tg}^{-1} \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de \operatorname{tg}^{-1}\sqrt{3}.
Informação dada: o argumento da função arco-tangente é \sqrt{3}.
Objetivo: encontrar um ângulo cujo tangente seja \sqrt{3} e que esteja no intervalo principal da função inversa.

Passo 2

Definição útil (explicando passo a passo): se \displaystyle y=\operatorname{tg}^{-1} x, então por definição
\operatorname{tg} y = x
e o valor principal de y fica no intervalo
\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Ou seja, para achar \operatorname{tg}^{-1}\sqrt{3} devemos encontrar um ângulo y tal que \operatorname{tg} y=\sqrt{3} e y esteja entre -\pi/2 e \pi/2.

Passo 3

Vamos lembrar valores trigonométricos conhecidos (essas são tabelas básicas que vale decorar para a prova):
\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
A tangente é definida como razão entre seno e cosseno:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.
Portanto \displaystyle \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.

Passo 4

Como \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} e \frac{\pi}{3} está no intervalo principal \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), pela definição inversa temos
\operatorname{tg}^{-1}\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}.
Se você preferir em graus, \frac{\pi}{3} corresponde a 60^\circ.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}
60^\circ

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